2021. 7. 28. 00:10ㆍ카테고리 없음
$\overline{AB}$와 $\overline{BC}$가 이루는 각을 $\phi$라고 합시다. $A$에서 레이저를 쏴서 $\overline{BC}$, $\overline{AB}$에 순서대로 반사된 점들을
각각 $A_{n}$ ($n=2,3,4$)라고 합시다. 또 각각의 길이를 $L_{n}$ ($n=1,2,3...$)라고 하고
해당 선분이 $\overline{AB}$와 이루는 각을 $\theta_{n}$ ($n=1,2,3...$)이라고 합시다.
예를 들면 $\overline{AA_{2}}=L_{1}$이 되는거죠!
- 각의 변화 알아보기
$\angle CA_{2}A$를 찾아봅시다.
$A_{2}$에서 $\overline{AB}$와 평행한 직선을 긋고
동위각에 의해 $\angle CA_{2}D = \angle CBA$이고 엇각에 의해 $\angle A_{2}AB = \angle DA_{2}A$가 됩니다.
따라서 $\angle CA_{2}A = \theta_{2} = \angle CA_{2}D + \angle DA_{2}A = \phi + \theta_{1}$
입사각과 반사각이므로 $\angle CA_{2}A=\angle BA_{2}A_{3}$
맞꼭지각으로 $\angle CA_{2}A=\angle DA_{2}B$
$\triangle AA_{2}A_{3}$의 꼭짓점 $A_{2}$ 외각의 크기는 $\angle D_{2}A_{2}B = 2\angle CA_{2}A = 2(\theta_{1}+\phi)$
이는 다른 두 꼭짓점에 대한 두 내각의 합과 같으므로 $\angle A_{2}A_{3}A + \angle A_{2}AA_{3}=2(\theta_{1}+\phi)$
$\angle A_{2}A_{3}A = \theta_{3} = \theta_{1}+2\phi$
이와같은 규칙성이 반복되므로 $\theta_{n}=\theta_{1}+(n-1)\phi$입니다.
- 길이의 변화 알아보기
이번부터는 편의상 $\theta_{1}=\theta$라고 놓읍시다!
$\triangle AA_{2}A_{3}$에서 사인법칙에 의해
$\frac{L_{1}}{\sin(\theta_{3})}=\frac{L_{2}}{\sin(\theta)}$
$L_{2}=\frac{L_{1}}{\sin(\theta+2\phi)}\cdot \sin(\theta)=L_{1}\frac{\sin(\theta)\sin(\theta+\phi)}{\sin(\theta+\phi)\sin(\theta+2\phi)}$
$\triangle A_{2}A_{3}A_{4}$에서 사인법칙에 의해
$\frac{L_{2}}{\sin(\theta_{4})}=\frac{L_{3}}{\sin(\theta+\phi)}$
$L_{3}=L_{1}\frac{\sin(\theta)\sin(\theta+\phi)}{\sin(\theta+2\phi)\sin(\theta+3\phi)}$
$\triangle A_{3}A_{4}A_{5}$에서 사인법칙에 의해
$\frac{L_{3}}{\sin(\theta_{5})}=\frac{L_{4}}{\sin(\theta+2\phi)}$
$L_{4}=L_{1}\frac{\sin(\theta)\sin(\theta+\phi)}{\sin(\theta+3\phi)\sin(\theta+4\phi)}$
이제 규칙이 보이죠?
$L_{n}=L_{1}\frac{\sin(\theta)\sin(\theta+\phi)}{\sin(\theta+(n-1)\phi)\sin(\theta+n\phi)}$
이제부터 편의상 $L_{1}=L$로 놓읍시다.
$\frac{L_{n}}{L_{n+1}}=\frac{\sin(\theta+n\phi)\sin(\theta+(n+1)\phi)}{\sin(\theta+(n-1)\phi)\sin(\theta+n\phi)}=\frac{\sin(\theta+(n+1)\phi)}{\sin(\theta+(n-1)\phi)}$
빛이 반사가 돼서 계속 전진하려면 두 면($\overline{AB}$와 $\overline{BC}$)과 맞닿을 때의 각이 $90^\circ$보다 작아야하죠. 우리는 각을 일반화 했으니 부등식을 세울 수 있어요!
$\theta+(n-1)\phi \ge \pi/2$
$n \ge \frac{\pi/2-\theta}{\phi}+1$
등호가 성립할 경우 $n-1$까지가 유효한 길이이며 그렇지 않을 경우 $n$까지가 유효한 길이에요.
유효한 길이를 만족시키는 최대의 $n$을 $p$라고 정의해보죠!
- 길이의 곱의 성질 알아보기
길이의 비의 곱의 성질을 알아봅시다~
$\prod_{n=1}^p \frac{L_{n+1}}{L_{n}} = \frac{\sin(\theta)}{\sin(\theta+2\phi)} \frac{\sin(\theta+\phi)}{\sin(\theta+3\phi)} \frac{\sin(\theta+2\phi)}{\sin(\theta+4\phi)} ... \frac{\sin(\theta+(k-2)\phi)}{\sin(\theta+k\phi)} \frac{\sin(\theta+(k-1)\phi)}{\sin(\theta+(k+1)\phi)} = \frac{\sin(\theta)\sin(\theta+\phi)}{\sin(\theta+k\phi)\sin(\theta+(k+1)\phi)}=\frac{L_{k+1}}{L}$
- 길이의 합의 성질 알아보기
빛이 지나간 길의 길이를 구해봅시다~
모든 길이의 식에서 $L\sin(\theta)\sin(\theta+\phi)$는 모두 가지고 있는 인수이므로 밖으로 빼요.
$\sum_{n=1}^p L_{n} = L\sin(\theta)\sin(\theta+\phi)(\frac{1}{\sin(\theta+\phi)\sin(\theta+2\phi)}+\frac{1}{\sin(\theta+2\phi)\sin(\theta+3\phi)}+\frac{1}{\sin(\theta+3\phi)\sin(\theta+4\phi)}+...)$
더하는 수가 1부터라면 문제가 어려울지도 몰라요! 그러니 시작하는 수는 $T$라고 정의하고
$N=\max \left\{n|p-2^n \ge 0\right\}$이라고 할 때 $T=p-2^N$이라고 해요.
앞의 $T$개는 따로 더하도록 하고 나머지 수들을 간단히 만들어봅시다!
연속된 2개의 항을 선택합니다.($T+1$항과 $T+2$항을 선택함.)
$\frac{1}{\sin(\theta+T\phi)\sin(\theta+(T+1)\phi)}+\frac{1}{\sin(\theta+(T+1)\phi)\sin(\theta+(T+2)\phi)}$
$=\frac{1}{\sin(\theta+(T+1)\phi)}(\frac{1}{\sin(\theta+T\phi)}+\frac{1}{\sin(\theta+(T+2)\phi)})$
$=\frac{1}{\sin(\theta+(T+1)\phi)}\frac{\sin(\theta+T\phi)+\sin(\theta+(T+2)\phi)}{\sin(\theta+T\phi)\sin(\theta+(T+2)\phi)}$
여기서 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식을 보고 가요!
$\sin(a)+\sin(b)=2\sin(\frac{a+b}{2})\cos(\frac{a-b}{2})$
이 공식을 위 식의 덧샘항에 적용하면
$=\frac{1}{\sin(\theta+(T+1)\phi)}\frac{2\sin(\theta+(T+1)\phi)\cos(\phi)}{\sin(\theta+T\phi)\sin(\theta+(T+2)\phi)}$
$=2\cos(\phi)\frac{1}{\sin(\theta+T\phi)\sin(\theta+(T+2)\phi)}$
와! 이전과 형태는 비슷하지만 크기를 반으로 줄였네요.
이제 앞에서 왜 $T$을 $2^N$을 이용해서 정의했는지 알겠나요?
이 작업을 반복하면 크기가 계속 반으로 줄기 때문이죠!
이 작업에서 공통적으로 튀어나온 항은 $2\cos(\phi)$에요.
이 것 역시 나중에 곱으로 한번에 처리합시다. 이 다음 작업도 진행해보면
$\frac{1}{\sin(\theta+T\phi)\sin(\theta+(T+2)\phi)}+\frac{1}{\sin(\theta+(T+2)\phi)\sin(\theta+(T+4)\phi)}=2\cos(2\phi)\frac{1}{\sin(\theta+T\phi)\sin(\theta+(T+4)\phi)}$
앞으로 튀어나온 항이 또 생겼네요. 이번에는 $2\cos(2\phi)$인 것으로 보아 $2\cos(2^n\phi)$ 꼴 인것이 분명해요.
우리가 구하고자 했던것을 정리해서 써보면
$\sum_{n=1}^p L_{n} = \sum_{n=1}^{T} L_{n} +2^N [\prod_{n=1}^N \cos(2^n\phi)] \frac{1}{\sin(\theta+T\phi)\sin(\theta+(T+2^N)\phi)}$
여기서 $T+2^N=p$이므로
$\sum_{n=1}^p L_{n} = \sum_{n=1}^{T} L_{n} +2^N [\prod_{n=1}^N \cos(2^n\phi)] \frac{1}{\sin(\theta+T\phi)\sin(\theta+p\phi)}$
음... 아직도 복잡하네요... 그럼 마침 1부터 $T$까지 더하는 것이 남았는데 이것도 간단히 해봅시다!
앞서 구한 식을 토대로
$\sum_{n=1}^T L_{n} = \sum_{n=1}^{T_{2}} L_{n} +2^{N_{2}} [\prod_{n=1}^{N_{2}} \cos(2^n\phi)] \frac{1}{\sin(\theta+T_{2}\phi)\sin(\theta+(T)\phi)}$
$T=T_{1}$, $N=N_{1}$이라고 하고 또 $p$를 이진수 표현 했을 때 0의 개수를 $z$라고 하면
$\sum_{n=1}^p L_{n} = \sum_{i=1}^z [2^{N_{i}} [\prod_{n=1}^{N_{i}} \cos(2^n\phi)] \frac{1}{\sin(\theta+T_{i+1}\phi)\sin(\theta+T_{i}\phi)}]$
으어.. 아직도 복잡하군...
뭔가 $\cos$의 2의 거듭제곱 곱 꼴이 수상하지 않나요? 저는 수상해서 연구해봤어요.
$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ (여기서 $i=\sqrt{-1}$)
$e^{-i\theta}=\cos(\theta)-i\sin(\theta)$
$\cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
$x=e^{i\phi}$라고 둡시다.
우리의 목표는 $\prod_{n=1}^{N} \cos(2^n\phi)$를 간단히 하는것 입니다. 분모에 있는 2는 나중에 한꺼번에 곱합시다!
$\prod_{n=1}^{N} \cos(2^n\phi)=(x^{2}+x^{-2})(x^{4}+x^{-4})(x^{8}+x^{-8})...$
$(x^{2}+x^{-2})(x^{4}+x^{-4})=x^{6}+x^{2}+x^{-2}+x^{-6}$
$(x^{2}+x^{-2})(x^{4}+x^{-4})(x^{8}+x^{-8})=x^{14}+x^{10}+x^{6}+x^{2}+x^{-2}+x^{-6}+x^{-10}+x^{-14}$
오...뭔가 보이는군요. 위 식들을 곱한 식의 각 항들은 $x^{4}$라는 등비를 가지고 있어요.
최고차항의 차수는 $N$번째 항까지 곱했다고 했을 때 $2^{N+1}-2$가 되겠군요! (2 4 8 16 ...의 합 입니다.)
곱한 식의 항의 개수는 $2\cdot \frac{2^{N+1}-2-2}{4}=2^{N}-2$예요. 등비수열의 첫째항은 $x^{2^{N+1}-2}$예요.
등비수열의 합 공식을 적용하면 $x^{2^{N+1}-2}\cdot\frac{x^{2^{N+2}-8}-1}{x^{4}-1}$ 이에요.
$\therefore \prod_{n=1}^{N} \cos(2^n\phi) = \frac{e^{(2^{N+1}-2)i\phi}}{2^N}\cdot\frac{e^{(2^{N+2}-8)i\phi}-1}{e^{4i\phi}-1}$
이것을 원래 식에 넣어봅시다.
$\therefore \sum_{n=1}^p L_{n} = \sum_{i=1}^z [\ e^{(2^{N_{i}+1}-2)i\phi}\cdot\frac{e^{(2^{N_{i}+2}-8)i\phi}-1}{e^{4i\phi}-1}\ ] \frac{1}{\sin(\theta+T_{i+1}\phi)\sin(\theta+T_{i}\phi)}]$
이정도로 만족합시다! 끝!