2024. 2. 14. 03:40ㆍPS/백준
본 글은 다음 세 논문을 바탕으로 쓰여 있습니다.
우리는 크기가 $p\times q$, $q\times r$인 두 행렬을 곱하는 cost를 $pqr$이라고 생각합니다. 행렬 $M_{1}\times \cdots \times M_{n-1}$을 곱하는데 필요한 최소의 연산 횟수는 얼마일까요? $M_{i}$의 크기를 $w_{i}\times w_{i+1}$이라고 두고 $w_{1}$부터 시계 방향으로 꼭짓점에 $w_{i}$들을 할당하여 $w_{n}$으로 끝나는 아래의 볼록 다각형을 생각해봅시다.
Part 1. Lemma 1에서는 위 볼록 다각형을 partition하는 것이 행렬들의 연산 순서와 대응된다고 합니다. 볼록 다각형의 partition의 cost는 partition으로 만들어지는 삼각형들의 각 가중치를 합하여 얻는데 $\triangle w_{p}w_{q}w_{r}$의 가중치는 $w_{p}w_{q}w_{r}$로 구합니다. 그럼 우리는 볼록 다각형의 최적의 partition을 찾아 그 cost를 구하면 됩니다.
가중치가 낮은 순서대로 $w_{i}$들을 정렬했을 때 앞에서부터 해당하는 vertex를 $V_{i}$로 부릅니다. 즉, 가중치가 가장 낮은 vertex는 $V_{1}$, 가장 큰 vertex는 $V_{n}$입니다. partial order $<$를 정의하는데 $V_{i}<V_{j}$ if $w_{i}<w_{j}$ or $w_{i}=w_{j},\ i < j$ 입니다.
우리는 여러 최적의 partition 중에서도 사전적으로 가장 낮은 l-optimum partition에 관심이 있습니다. 먼저 h-arc를 정의합시다. 볼록 다각형에서 변을 이루고 있는 것을 side라고 하며 한 vertex와 인접하지 않은 vertex를 이은 선을 arc라고 합니다. 어느 partition에서든지 하나의 arc는 유일한 내접 사각형을 이등분합니다. $V_{x}-V_{z}$가 사각형$V_{x},V_{w},V_{z},V_{y}$(시계 방향으로 적은 vertex)를 이등분한다고 합시다. 이때 이 arc가 h-arc가 될 필요충분조건은 아래와 같습니다.
\[\min(w_{x},w_{z}) >\min(w_{y},w_{w}),\ \ \ \ \max(w_{x},w_{z})<\max(w_{y},w_{w})\]
이제 우리가 $V_{x}-V_{z}$를 임의로 잡았다고 해봅시다. $V_{w}$를 $V_{x}$에서 시계 방향으로 $V_{z}$까지 돌았을 때 나오는 가장 낮은 order를 가지는 vertex라고 합시다. $V_{y}$를 $V_{z}$에서 시계 방향으로 $V_{x}$까지 돌았을 때 나오는 가장 낮은 order를 가지는 vertex라고 합시다. 이때 $V_{x}-V_{z}$가 h-arc가 될 필요조건은 $V_{y}<V_{x}<V_{z}<V_{w}$입니다. (part 1. corollary 4) 따라서 우리는 이 조건을 만족하는 arc를 potential h-arc라고 부릅니다. 이 potential h-arc들은 partiton에 관계 없이 존재하지 않거나 존재하다면 서로 겹치지 않습니다.(이를 논문에서는 compatible이라 부릅니다. part 1.Theorem 4) 이 성질을 이용하면 l-optimum partition에 존재하는 h-arc들을 포함하는 potential h-arc들의 집합을 얻는 알고리즘을 찾을 수 있습니다. 그것이 바로 one-sweep 알고리즘입니다.
Part 2에서는 l-optimum partition을 구하는 알고리즘이 설명되어 있습니다.
먼저 fan을 정의합니다. fan은 말 그대로 선풍기 모양을 하는 partition을 의미합니다. 예를 들어 $\{w_{1},w_{2},\cdots,w_{n}\}$이 꼭짓점이고 $w_{1}$의 가중치가 가장 작은 볼록 다각형을 생각하면 이 볼록 다각형의 fan은 아래와 같습니다. 그리고 이것을 $Fan(w_{1}|w_{2},\cdots,w_{n})$이라고 표현합니다. 또한 Fan의 cost는 $w_{1}(w_{2}w_{3}+w_{3}w_{4}+w_{4}w_{5}+\cdots+w_{n-1}w_{n})$과 같고 옆으로 계속 이어지며 곱하는 것을 $(w_{2}:w_{n})$이라고 정의하면 $w_{1}(w_{2}:w_{n})$이 됩니다.
part 2. lemma 1는 potential h-arc가 존재하지 않는 l-optimum partition은 fan이라고 말합니다. 이는 볼록 다각형의 부분 집합으로 이루어진 subpolygon에서도 성립하기 때문에 우리는 potential h-arc가 존재하는지 안하는지를 따져서 l-optimum partition을 얻을 수 있습니다.(만약 어떤 subpolygon에서 potential h-arc가 존재하지 않으면 subpolygon의 l-optimum partition은 fan입니다!) part 2. lemma 2에서는 potential h-arc들 간에는 항상 포함 관계(일명 "above")가 있다고 말합니다. potential h-arc들은 특성상 $V_{n}$에 가까울수록 above에 있습니다. 또한 $V_{1}$에 가까울수록 below에 있습니다. $V_{1},V_{n}$들을 degenerated h-arc(일반적이지 않은 h-arc를 말합니다. 각 vertex는 실제로 arc가 아닙니다.)로 생각한다면 potential h-arc들 간의 order를 줄 수 있고 이것은 tree의 형태로 나타날 것입니다. 이것을 arc tree라고 합니다.
우리가 어떤 potential h-arc를 최적의 partition에 등장시킬 수 있다면 그로 인해 나타나는 cost는 반드시 fan보다 작아야 합니다. 위의 polygon에서 $w_{2}-w_{n}$을 potential h-arc라고 가정해봅시다. 그리고 subpolygon $\{w_{2},w_{3},\cdots,w_{n}\}$이 fan 구조를 이룬다고 합시다. 그럼 이 partition의 cost는 $Fan(w_{2}|w_{3},\cdots,w_{n})+w_{1}w_{n}w_{2}$이고 이 값이 $w_{1}(w_{2}:w_{n})$보다 작아야 합니다. 따라서 다음이 성립해야 합니다.
\[\frac{w_{2}(w_{3}:w_{n})}{(w_{2}:w_{n})-w_{2}w_{n}}<w_{1}\]
일반적으로, potential h-arc $V_{i}-V_{k}$의 등장을 위해서는 다음이 성립해야 합니다. 이때 $ C(w_{i},\cdots,w_{k})$는 subpolygon $\{w_{i},\cdots,w_{k}\}$의 최적의 cost 입니다.
\[\frac{C(w_{i},\cdots,w_{k})}{(w_{i}:w_{k})-w_{i}w_{k}}<w_{1}\]
그럼 이 사실을 subpolygon에 대해서도 적용해봅시다.
potential h-arc $V_{i}-V_{k}$와 $V_{p},V_{r},V_{n},V_{s},V_{q}$로 둘러싸인 subpolygon에서 $V_{p}-V_{q}$가 fan보다 더 저렴한 cost를 가지기 위해서는 다음을 만족해야 합니다.
\[\frac{C(w_{p},w_{r},w_{n},w_{s},w_{q})}{(w_{p}:w_{q})-w_{p}w_{q}}<\min(w_{i},w_{k}) \ \ (*)\]
만약 위 부등식이 만족되었다면 $V_{p}-V_{q}$는 위 subpolygon에 대해 positive라고 말합니다.
이제 임의의 potential h-arc $V_{j}-V_{j}'$($h_{j}$) 에 대해서 supporting weight를 정의합니다. $h_{j}$보다 위에 있는 potential h-arc를 $V_{k}-V_{k}'$($h_{k}$)라고 합시다. 이때 $h_{k}$에 대한 $h_{j}$의 supporting weight는
\[S(h_{j}\backslash h_{k})=\frac{C(w_{j},w_{k},w_{k}',w_{j}')}{(w_{j}:w_{j}')-((w_{k}:w_{k}')-w_{k}w_{k'})-w_{j}w_{j}'}\]
입니다. 만약 $h_{i},h_{j},h_{k}$가 세 potential h-arc이고 $h_{i}<h_{j}<h_{k}$를 만족한다면 다음을 알 수 있습니다.
\[S(h_{i}\backslash h_{j})=\frac{a}{b}\ \ \ S(h_{j}\backslash h_{k})=\frac{c}{d}\ \ \implies\ \ S(h_{i}\backslash h_{k})=\frac{a+c}{b+d}\]
이 표기를 이용해서 (*)을 다시 쓰면 아래와 같습니다.
\[S(h_{p}\backslash h_{n})<\min(w_{i},w_{k})\]
일반적인 polygon에서는 potential h-arc가 선형적이지 않은 tree 구조를 형성하기 때문에 $h_{j}$의 위에 있는 potential h-arc들을 여러개 상정해야 하나의 subpolygon이 결정되게 됩니다. 따라서 $S(h_{j}\backslash X)$를 정의하고 $X$는 $h_{j}$위의 potential h-arc들의 집합입니다.
지금부터 arc는 potential h-arc를 대신합니다.
새로운 개념인 ceiling을 정의합니다. 아래 조건을 만족하면 $h_{k}$는 $h_{i}$의 ceiling이 됩니다.
(i) $h_{n}$의 ceiling은 $h_{n}$입니다.
(ii) $h_{k}>h_{i}$과 $S(h_{i}\backslash h_{k})>S(h_{k}\backslash h_{k} \text{'s ceiling})$를 만족시키는 가장 낮은 arc입니다.
father-son relation을 정의합니다. 다음 조건을 만족시키는 $h_{j}$는 $h_{i}$의 son입니다.($h_{i}$는 $h_{j}$의 father입니다.)
(i) $h_{j}>h_{i}$, $S(h_{j}\backslash h_{j} \text{'s ceiling} )<\min(w_{i},w_{i}')$ ($w_{i},w_{i}'$들은 $h_{i}$의 양 끝 가중치입니다.)
(ii) $S(h_{i}\backslash h_{j}) \le S(h_{j}\backslash h_{j} \text{'s ceiling} )$ i.e. $h_{j}$는 $h_{i}$의 ceiling이 아닙니다.
(iii) 조건 (i),(ii)를 만족시키는 가장 높은 arc입니다.
논문의 관찰에 의하면 어떤 arc $h_{i}$가 있을 때 son들은 $h_{i}$와 $h_{i} \text{'s ceiling} $ 사이에 있습니다. 또한 son들의 ceiling은 $h_{i} \text{'s ceiling} $보다 낮습니다. 즉, 어떤 arc와 그 ceiling 사이의 공간을 하나의 block이라고 보면 일종의 nested block structure가 있는 셈입니다.
part 2. Thm 6에 의하면 $h_{j}$의 l-optimum partition에서의 존재성의 $h_{j}$의 son들의 존재성과 동치입니다.
part 2. Thm 7에 의하면 $h_{i}<h_{j}$이고 $h_{i}$와 $h_{j}$ 사이의 l-optimum partition이 fan이라고 했을 때 $S(h_{j}\backslash h_{j} \text{'s ceiling} )\ge \min(w_{i},w_{i}')$이면 $h_{j}$와 그 son들은 l-optimum partition에 존재할 수 없습니다.
두 Thm을 이용하면 아래의 알고리즘을 얻을 수 있습니다.
1. One sweep 알고리즘으로 potential h-arc들을 얻어내자.
2. potential h-arc들로 arc tree를 만들고 arc tree의 leaf부터(가장 높은 곳) 검사를 시작하자.
3. $h_{j}$의 검사를 한다고 하자. $h_{j}$의 바로 위에 있는 arc들의 집합을 $X$라고 하자. 그 집합 안에 있는 arc 중에서 $h_{m}$을 뽑고 이것이 $S(h_{m}\backslash h_{m} \text{'s ceiling} )\ge \min(w_{i},w_{i}')$를 만족한다고 하자. $h_{m}$과 $h_{j}$ 사이에는 fan이 가장 저렴한 partition임이 보장되어 있다. 따라서 Thm7을 적용하면 $h_{m}$와 그 son들은 존재할 수 없다. $h_{m}$와 그 son들을 삭제한다. 이것을 $X$에 있는 모든 arc에 대해 실행한다.
4. 위의 결과인 X를 사용한다. 3번 과정을 진행하면서 $S(h_{j}\backslash X)$를 계산했다. 만약 $ S(h_{j}\backslash X)\le S(h_{m}\backslash h_{m} \text{'s ceiling} )$이면 $h_{m}$은 $h_{j}$의 son이다.(part 2. Thm 8) son의 존재는 $h_{j}$의 존재와 동치임으로 son을 $X$에서 제거한다.
5. X에 $S(h_{j}\backslash h_{j}\text{'s ceiling})$를 추가한다.
이것이 알고리즘의 대략적인 형태입니다. 그럼 보다 세부적인 구현 사항에 대해 알아보도록 합시다.
이 알고리즘이 참이라고 한다면 $h_{j}$의 검사가 끝났을 경우, $h_{j}$바로 아래에 $h_{i}$가 있다고 할 때, $X$에 들어있는 것은 $h_{j}$를 포함한 $h_{i}$의 바로 위에 있는 arc들 입니다. 여기서 "바로 위"라는 것은 전체 potential h-arc를 고려해서 바로 위에 있는 것이 아니라, 이미 지워질 것은 지워진 후의 상태에서 바로 위에 있는 것입니다. 따라서 5번 과정에서 $X$에 $h_{j}$의 supporting weight를 추가하였습니다.
3번 과정에서 $h_{m}$와 그 son들을 삭제한다고 하였는데, 이는 사실 $h_{m}$만 제거해도 충분합니다. $h_{m}$이 처리되는 과정에서 4번 단계를 거치면 $h_{m}$의 son들은 $h_{m}$으로 압축되기 때문입니다. 그럼 $X$는 $X-\{h_{m}\}\cup \{h_{m} \text{'s ceiling}\}$로 바뀌게 됩니다. 집합 $X$가 supporting weight에 쓰이는 순간은 4번 $S(h_{j}\backslash X)$에서 입니다. 기본적인 $S(h_{j}\backslash \{h_{n}\})$을 계산해 두었다고 합시다. 3번에서 $X$가 $X-\{h_{m}\}\cup \{h_{m}\text{'s ceiling}\}$로 변할 때 분모는 $h_{m}$이 차지하고 있었던 공간만큼 커집니다. 하지만 분자는 다시 계산해야 합니다. 그 이유는 이 순간 $S(h_{j}\backslash X)$의 구조가 fan이 되었기 때문입니다. 앞서 fan을 구하는 공식을 보았습니다. 이를 상기하면 $Fan(w_{1}|w_{2},\cdots,w_{n})=w_{1}(w_{2}:w_{n})$ 입니다. $h_{j}$의 작은쪽 가중치가 $w_{j}$라고 합시다. 그럼 $S(h_{j}\backslash \{h_{n}\})$의 분모는 $b=(w_{j}:w_{j'})-w_{j}w_{j'}$입니다. 놀랍게도 분자는 $b+w_{j}w_{j'}-w_{j}w_{j+1}$임을 알 수 있습니다. 만약 작은쪽 가중치가 $w_{j}'$이었다면 분자는 $b+w_{j}w_{j'}-w_{j'}w_{j'-1}$이 됩니다.
왼쪽의 경우를 먼저 보면, $w_{j}$의 한쪽이 $w_{j+1}$이 아닐지도 모릅니다. 우리는 복잡하게 생긴 구조의 fan을 구해야합니다. 마치 아래처럼 말입니다.
그럼 아까와 비슷하게 $b+w_{j}w_{j'}-w_{j}w_{p}$를 계산하면 됩니다. 잠깐, 어째서 $b$를 그대로 사용하는 것인가요? 사실 여기서 사용되는 $b$는 수정되어 온 값입니다. $h_{j}$를 검사하기 전에 반드시 검사해야 하는 arc들은 $h_{j}$의 하위 arc들(위에 있는 arc들) 입니다. 이 하위 arc들이 둘러싸고 있던 영역은 온전히 분모에 포함되어 있습니다. 따라서 $h_{j}$의 직속 하위 arc들의 분모 값을 $S(h_{j}\backslash \{h_{n}\})$의 분모에서 제외해야 $w_{j},w_{p},\cdots,w_{j'}$으로 이루어진 영역을 나타내는 분모를 얻습니다. 이렇게 얻어진 분모가 $b$로써 사용되는 것입니다. 그럼 $w_{p}$는 어떻게 구할 수 있을까요? $w_{j}$를 한쪽 꼭짓점으로 하는 arc가 언제 가장 최근 연결되었는지 살펴보면 됩니다. 가장 마지막으로 사용된 arc가 그 경계를 정할 것입니다. 이렇게 3번 과정에서 $S(h_{j}\backslash X)$를 계산했습니다.
4번 과정에서도 $S(h_{j}\backslash X)$는 변화합니다. 4번에서는 son들을 압축하는데 각 son을 삭제하는 순간 $h_{j}$ 자체는 홀로 차지해야 하는 영역이 증가합니다. 따라서 분모는 son의 분모만큼 더해집니다. 또한, son은 son이 차지했던 구역에서는 l-optimum partition을 이루었기에 $h_{j}$의 분모 즉, $h_{j}$가 차지하는 영역의 최적의 cost는 분모에 son의 분모를 더한 것이 될 것입니다. 4번 과정을 거친 이후에는 $S(h_{j}\backslash h_{j}\text{'s ceiling})$의 값이 남아있게 됩니다. $X$를 구성하는 과정에서 방문한 모든 arc들을 추가하기 때문에 son의 위에 son이 있더라도 4번 과정에서 처리할 수 있게 됩니다. 세부적으로 보면 결국 son들 사이사이는 다른 arc가 없습니다. 따라서 한 son의 ceiling은 다른 son의 ceiling이 되며 이것이 반복되어 결국 $h_{j}$의 ceiling에 도달합니다. (nested block structure) 이것이 $S(h_{j}\backslash h_{j}\text{'s ceiling})$의 값이 남게 되는 이유입니다.
이 알고리즘은 root부터 leaf로 dfs탐색을 하는 재귀함수로 생각할 수 있습니다. 첫번째 arc로 $V_{1}$을 호출하고 각 arc에서는 그 바로 위에 존재하는 arc들을 호출합니다(이들을 자식 arc라고 합시다.). 바로 자식 arc들에 대한 dfs가 종료되면 각 자식 arc의 $X$를 union하는 과정이 필요합니다. 3, 4번 과정 모두 $S(h_{m}\backslash h_{m}\text{'s ceiling})$가 큰 값 먼저 계산하는 것이 효율적이므로 $X$의 자료구조로 priority-queue를 선택하는 것이 좋습니다.
아래에는 이 과정을 구현한 코드기 있습니다. 이 코드는 아래의 링크를 참고하였습니다.
https://github.com/junodeveloper/Hu-Shing/blob/master/hu-shing.cpp
# 코드 보기
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#include<bits/stdc++.h>
#define MAX 2000002
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
struct HArc{
int id; //determined in "new_arc"
int st, end;
int low; //lower weight's index
ll mul; //value of w[st] * w[end]
ll base;
ll num, den;
inline bool contains(HArc &b)const{
return st <= b.st && b.end <= end;
}
inline ll get_support()const{
return num / den;
}
bool operator<(const HArc& b)const{
return get_support()<b.get_support();
}
bool operator<=(const HArc& b)const{
return get_support()<=b.get_support();
}
bool operator==(const HArc& b)const{
return get_support()==b.get_support();
}
//operator need to defined in priority queue
} h[MAX];
ll w[MAX];
ll CP[MAX];
vector<P> arcs;
vector<int> tree[MAX];
vector<HArc> con[MAX];
priority_queue<HArc> pq[MAX];
int qid[MAX];
int sub[MAX]; //numbrer of childs
int n_arcs, n_pqs;
int n;
void new_arc(int st, int end){ //st <= end
++n_arcs;
h[n_arcs].id = n_arcs;
h[n_arcs].st = st;
h[n_arcs].end = end;
h[n_arcs].low = w[st] < w[end] ? st : end;
h[n_arcs].mul = w[st] * w[end];
h[n_arcs].base = CP[end] - CP[st] - h[n_arcs].mul;
}
void build_tree(){
vector<int> st;
new_arc(1, n + 1); // note that w[n+1]=w[1]
for(auto& arc: arcs){
new_arc(arc.first, arc.second);
while(!st.empty() && h[n_arcs].contains(h[st.back()])){
tree[n_arcs].push_back(st.back());
st.pop_back();
}
st.push_back(n_arcs);
}
while(!st.empty()){
tree[1].push_back(st.back());
st.pop_back();
}
}
void collect_h_arcs(){
int i;
vector<int> st;
vector<P> tmp;
for(i = 1;i <= n;i++){
while(st.size() >= 2 && w[st.back()] > w[i]){
tmp.push_back({st[st.size() - 2], i});
st.pop_back();
}
st.push_back(i);
}
for(auto& arc: tmp){
if(arc.first == 1 || arc.second == 1) continue;
arcs.push_back(arc);
}
}
void init(){
int i;
int V1 = min_element(w + 1, w + n + 1) - w;
rotate(w + 1, w + V1, w + n + 1);
w[n + 1] = w[1];
collect_h_arcs();
for(i = 2;i <= n + 1;i++){
CP[i] = CP[i - 1] + w[i - 1] * w[i];
}
build_tree();
}
ll get_mul(int node){
if(node == 1) return w[1] * w[2] + w[1] * w[n]; //w[n+1]=w[1] In fact, we have to discard w[n+1]'s weight
HArc &cur = h[node];
if(cur.st == cur.low){
if(con[cur.st].empty() || !cur.contains(con[cur.st].back())){
return w[cur.st] * w[cur.st + 1]; ///if it is just normal fan with side of original convex polygon .
}
return con[cur.st].back().mul; //if we have to calculate the fan with side "not of" original convex polyon but its side is one "arc".
}
else{
if(con[cur.end].empty() || !cur.contains(con[cur.end].back())){
return w[cur.end] * w[cur.end - 1]; //it is clockwise direction.
}
return con[cur.end].back().mul;
}
}
void add_arc(int node){
HArc &cur = h[node];
pq[qid[node]].push(cur);
con[cur.st].push_back(cur);
con[cur.end].push_back(cur);
}
void remove_arc(int node){
con[pq[qid[node]].top().st].pop_back();
con[pq[qid[node]].top().end].pop_back();
pq[qid[node]].pop();
}
void merge_pq(int node){
int idx_max = -1;
for(auto &arc: tree[node]){
if(idx_max == -1 || sub[idx_max] < sub[arc]) idx_max = arc;
}
qid[node] = qid[idx_max]; //to save the time, we pick the child having maximal number of childs.
auto &cur_pq = pq[qid[node]];
for(auto &arc: tree[node]){
if(arc == idx_max) continue;
auto &child_pq = pq[qid[arc]];
while(!child_pq.empty()){
cur_pq.push(child_pq.top());
child_pq.pop();
}
}
}
void dfs(int node){
HArc &cur = h[node];
sub[node] = 1;
if(tree[node].empty()){
qid[node] = ++n_pqs;
cur.den = cur.base;
cur.num = w[cur.low] * (cur.den + cur.mul - get_mul(node));
add_arc(node);
return;
}
cur.den = cur.base;
for(auto &arc: tree[node]){
dfs(arc);
sub[node] += sub[arc];
cur.den -= h[arc].base; //child node is right above current node. current node is surounded by childe node so, denom must be subtracted.
}
cur.num = w[cur.low] * (cur.den + cur.mul - get_mul(node));
merge_pq(node); //merging proirity queue of child's
auto &cur_pq = pq[qid[node]];
while(!cur_pq.empty() && cur_pq.top().get_support() >= w[cur.low]){ //removing negative arcs
auto hm = cur_pq.top();
cur.den += hm.den; //the space being filled so denom get larger
remove_arc(node);
cur.num = w[cur.low] * (cur.den + cur.mul - get_mul(node)); //but the space should be a "fan"
}
while(!cur_pq.empty() && cur <= cur_pq.top()){ //condensing son
auto hm = cur_pq.top();
cur.den += hm.den; //the space being filled so denom get larger
remove_arc(node);
cur.num += hm.num; //adding son's cost(this is not a fan but son's optimal partition)
}
add_arc(node);
}
ll solve(){
dfs(1);
ll ans = 0;
auto &cur = pq[qid[1]];
while(!cur.empty()){
ans += cur.top().num;
cur.pop();
}
return ans;
}
int main(){
int i;
scanf("%d", &n);
for(i = 1;i <= n;i++){
scanf("%lld %lld", &w[i], &w[i + 1]);
}
n++;
init();
printf("%lld", solve());
}
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