PS/백준(43)
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[BOJ 17105] 골드바흐 트리플
어떤 홀수가 주어질 때 그 홀수를 세 개의 소수의 합으로 나타내는 방법이 얼마나 많은지 구하는 문제이다. 주어진 홀수를 n이라 하자. 그럼 경우는 3가지가 있다. 각 경우마다의 경우의 수를 a,b,c라고 두자. 1. n=p+q+r 2. n=2p+q 3. n=3p 가장 쉽게 생각할 수 있는 것은 소수 차의 항만을 가지며 계수가 1인 다항식 P(x)를 생각할 수 있다. 이 P(x)3에서 xn의 계수가 우리가 구하고자 하는 답과 가장 유사할 것이다. 하지만 그 계수는 6a+3b+c가 된다. c는 쉽게 구할 수 있으나 b를 구하는 것이 어렵다. b는 P(x)에서 각 항의 차수만 2배가 된 식 Q(x)와 P(x)를 곱하게 된다면 xn의 계수로 ..
2022.03.04 -
[BOJ 16808] Identity Function
함수 f는 다음과 같이 정의된다. f(a)=a^{N} \pmod{N} F_{1}(a)=f(a) F_{k+1}(a)=F_{k}(f(a)) (k=1,2,3,...) 이를 간단히 하면 다음과 같다. F_{k}(a)=a^{N^{k}} \pmod{N} 이때 F_{k}(a)=a인 최소의 k를 찾는 것이 우리의 목표이다. 먼저 N=p(소수)일 경우를 생각해보자. a^{N^{k}} \equiv a \pmod{N} 이때 gcd(a,N)=1이므로 a^{N^{k}-1} \equiv 1 \pmod{N} N^{k} \equiv 1 \pmod{\phi(N)} 만약 이때 \gcd(N,\phi(N))=1이 아니라면 만족하는 k가 존재하지 않는다. k가 존..
2022.02.14 -
[BOJ 13714] 약수의 개수
위 문제에서 구하고자 하는 것은 다음과 같다. \sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{c} \tau(ijk) 필요한 이론을 증명하고 문제를 해결하자. Theorm 1. \tau(ij)=\sum_{x|i} \sum_{y|j} [x \perp y] Lemma 1. n=\prod_{i=0}^{k} p_{i}^{a_{i}}t\ \ (p_{i} \nmid t) 일 때 다음은 n의 약수 중 p_{i}들의 배수의 개수이다. \prod_{i=0}^{k} a_{i} \tau(t) i=p^{a}s(p \nmid s),\ j=p^{b}t(p \nmid t)라 가정하자. \tau(ij)=(a+b+1)\tau(st) s, t가 서로소가 아니므..
2022.02.08 -
[BOJ 18496] Euclid's Algorithm
이 문제의 목표는 모든 자연수 a에 대해서 (a+d)^{k}-a^{k}를 나누는 가장 큰 자연수(N)를 구하는 것입니다. N은 d의 소인수들의 구성으로만 이루어져 있다. 어떤 소수 p가 존재하고 p |N이라고 합시다. 그럼 다음을 만족합니다. (a+d)^{k} \equiv a^{k} \pmod{p} d \equiv 0 \pmod{p} 따라서 p는 d의 소인수입니다. p가 d의 소인수인 것은 알았지만 (a+d)^{k}-a^{k}이 몇 번 p로 나누어 떨어지는 지는 아직 모릅니다. 이 문제를 해결하기 위해서 Lifting-the-exponent lemma를 사용하였습니다. Lifting-the-exponent lemma v_{p}(n)는 $p^..
2022.01.16 -
64일 스트릭!!
플래티넘 새싹을 얻었다!
2021.12.20 -
[BOJ 10438] 페리 수열의 합
페리 수열 F_{n}은 0부터 1까지 분모가 n이하인 모든 기약분수들을 오름차순으로 배열한 수열이다. 예를 들어 n=3 이라면 수열은 다음과 같다. \frac{0}{1}\ \frac{1}{3}\ \frac{1}{2}\ \frac{2}{3}\ \frac{1}{1} 페리 수열은 이전 수열에 새로운 기약분수가 추가되며 수열이 만들어진다. 페리 수열의 a번째 항을 \frac{h_1}{k_1}, a+2번째 항을 \frac{h_2}{k_2}, a+1번째 항을 \frac{h_3}{k_3}이라 하면 h_{3}=h_{1}+h_{2}, k_{3}=k_{1}+k_{2} 이다. 이 성질을 이용해 이 다음 페리 수열에 등장할 분수를 알 수 있다. 페리 수열의 크기를 |F_{n}|이..
2021.11.20