삼각함수의 극한

오늘은 원을 가지고 놀것이다!

 

먼저 원을 그리고 원의 지름을 표시한다.

여기서 지름의 한 쪽 끝부터 시작하여 일정한 각도로, 원의 중심을 기준으로, 반시계 방향으로 회전 시켜 점들을 찍어준다. 그 후 점을 다음과 같이 연결시켜준다.

점 2개

점 5개

점 7개

점의 개수가 늘어날수록 색칠된 부분이 반원을 덮는 것을 관찰할 수 있다.

그럼! 이 다각형의 넓이를 구해서 반원의 넓이가 되는지 알아보자.

 

1. 넓이 구하기

총 $n$개의 점을 $\theta$만큼 회전시키며 찍었다고 하자.

$\theta$를 구하면

$2(n+1)\theta=\pi$

$\theta=\frac{\pi}{2(n+1)}$

우리가 구하고자 하는 넓이 $s$는

$s=\triangle ABC_{1}+\triangle AC_{1}C_{2}+\cdot\cdot\cdot+\triangle AC_{n-1}C_{n}$

또,

$\overline {AB}=R$

$\angle C_{i}AB=i\theta$

라고 하자.

 

각을 일반화 할 수 있는 이유

중심각이 일정하게 증가하기 때문에 원주각도 일정하게 증가한다.

 

$\overline {BC_{i}}$를 그어보면 직각삼각형$ABC_{i}$가 각각 만들어짐을 알 수 있는데

이로써

$\overline {AC_{i}}=R\cos{i\theta}$

를 얻는다.

삼각형의 넓이는 두 변의 길이 $a,\ b$와 끼인각 $\theta$를 알 때 사용하는

$\frac{1}{2}ab\sin{\theta}$

를 이용하여 구한다.

$s=\frac{1}{2}\sin{\theta}R^{2}(\cos{0}\cos{\theta}+\cos{\theta}\cos{2\theta}+\cdot\cdot\cdot+\cos{(n-1)\theta}\cos{n\theta})$

반면 실제 반원의 넓이는

$\pi\left(\frac{R}{2}\right)^{2}\frac{1}{2}=\frac{\pi R^{2}}{8}$

$\frac{\pi}{4}=\sin{\theta}(\cos{0}\cos{\theta}+\cos{\theta}\cos{2\theta}+\cdot\cdot\cdot+\cos{(n-1)\theta}\cos{n\theta})$

을 만족해야 한다.

 

2. 극한 계산

($i=\sqrt{-1}$)

$\cos{\theta}=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

 

내가 알던 삼각함수 맞아요?

오일러의 공식에 의하면 다음이 성립합니다.

$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

$e^{-i\theta}=\cos{\theta}-i\sin{\theta}$

두 식을 더하면

$\cos{\theta}=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

두 식을 빼면

$\sin{\theta}=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

이 됩니다.

 

$\cos{r\theta}\cdot\cos{(r+1)\theta}=\frac{e^{ri\theta}+e^{-ri\theta}}{2}\cdot\frac{e^{(r+1)i\theta}+e^{-(r+1)i\theta}}{2}$

$=\frac{e^{(2r+1)i\theta}+e^{-(2r+1)i\theta}+e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$

$=\frac{1}{2}(\cos{(2r+1)\theta}+\cos{\theta})$

$\sum{\cos{(2r+1)\theta}}$를 간단하게 만들어보자.

일단 모르면 나열해본다.

$\cos{\theta}\ \cos{3\theta}\ \cdot\cdot\cdot\ \cos{(2n-1)\theta}$

$\cos{(\pi-\theta)}=\cos{(2n+1)\theta}=-\cos{\theta}$

그러니 나열한 수들 뒤에 $\cos{(2n+1)\theta}$를 추가하자.

따라서

$s=\begin{cases}\frac{\sin{\theta}}{2}(n\cos{\theta}-\cos{(2n+1)\theta}), & \mbox{if }n\mbox{ is even} \\\frac{\sin{\theta}}{2}(n\cos{\theta}-\cos{(2n+1)\theta}+\cos{n\theta}), & \mbox{if }n\mbox{ is odd} \end{cases}$

 

$\sin{\theta}=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

임을 이용하자.

1) 짝수일 경우

$s=\frac{1}{2}\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\left(n\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}-\frac{e^{(2n+1)i\theta}+e^{-(2n+1)i\theta}}{2}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(n\sin{2\theta}+\sin{2n\theta}\right)$

$=\frac{1}{4}\underset{{\theta \to 0}_{}}{\lim} 2n\theta\left(\frac{\sin{2\theta}}{2\theta}+\frac{\sin{2n\theta}}{2n\theta}\right)$

$2n\theta=\pi-2\theta$를 대입하고 극한을 취하면

$\underset{{\theta \to 0}_{}}{\lim} s=\frac{1}{4}\underset{{\theta \to 0}_{}}{\lim} (\pi-2\theta)\left(\frac{\sin{2\theta}}{2\theta}+\frac{\sin{(\pi-2\theta)}}{\pi-2\theta}\right)$

$=\frac{\pi}{4}$

 

2) 홀수일 경우

$s=\frac{1}{2}\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\left(n\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}-\frac{e^{(2n+1)i\theta}+e^{-(2n+1)i\theta}}{2}+\frac{e^{ni\theta}+e^{-ni\theta}}{2}\ \right)$

$=\frac{1}{4}\left(n\sin{2\theta}+\sin{2n\theta}+1-\sin{(n-1)\theta}\right)$

$=\frac{1}{4}\underset{{\theta \to 0}_{}}{\lim} 2n\theta\left(\frac{\sin{2\theta}}{2\theta}+\frac{\sin{2n\theta}}{2n\theta}+\frac{1}{2n\theta}-\frac{\sin{(n-1)\theta}}{2n\theta}\right)$

$2n\theta=\pi-2\theta$를 대입하고 극한을 취하면

$\underset{{\theta \to 0}_{}}{\lim} s=\frac{1}{4}\underset{{\theta \to 0}_{}}{\lim} (\pi-2\theta)\left(\frac{\sin{2\theta}}{2\theta}+\frac{\sin{(\pi-2\theta)}}{\pi-2\theta}+\frac{1}{\pi-2\theta}-\frac{\cos{2\theta}}{\pi-2\theta}\right)$

$=\frac{\pi}{4}$

 

정리하면