쌍곡선 위의 한 점

쌍곡선 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 위의 한 점 $R$에서 기울기가 $m$인 직선이 켤래 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 $P,\ Q$라고 하자. 이때, $\overline{PR}\cdot\overline{QR}$의 값을 확인해보자.

$\overline{PR}\cdot\overline{QR}$의 값이 일정해보인다. 증명해보자.

 

<증명>

$x$축과 직선이 이루는 각을 $\theta$라고 하자.

기울어진 선분의 길이는 수평선보다 구하기 어려우므로 $\theta$를 이용해 각 길이를 수평으로 표현할 수 있다.

$P(\alpha_{1},\ \beta_{1})$, $Q(\alpha_{2},\ \beta_{2})$, $R(x_{1},\ y_{1})$

이라고 하자.

그때 수평선분 길이의 곱은

$s_{x}=|x_{1}-\alpha_{1}|\cdot|x_{1}-\alpha_{2}|=|x_{1}^{2}-x_{1}(\alpha_{1}+\alpha_{2})+\alpha_{1}\alpha_{2}|$

$R$점을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은

$y=m(x-x_{1})+y_{1}$

이를 켤래 쌍곡선 식에 대입하고 정리하면

$(b^{2}-a^{2}m^{2})x^{2}-a^{2}x(-2m^{2}x_{1}+2my_{1})-a^{2}(m^{2}-2my_{1}x_{1}+y_{1}^{2}-b^{2})=0$

위 이차방정식의 근은 $\alpha_{1},\ \alpha_{2}$이다.

위 이차방정식을 간단하게 $f(x)=Ax^{2}+Bx+C$라고 표현하자.

$As_{x}=|f(x_{1})|$

$=(b^{2}-\color{Red}{a^{2}m^{2}})x_{1}^{2}-a^{2}x_{1}(\color{Red}{-2m^{2}x_{1}}+\color{Blue}{2my_{1}})-a^{2}(\color{Red}{m^{2}x_{1}^{2}}\color{Blue}{-2my_{1}x_{1}}+y_{1}^{2}-b^{2})$

빨간색 항들과 파란색 항들이 소거된다.

$=b^{2}x_{1}^{2}-a^{2}y_{1}^{2}+a^{2}b^{2}$

점 $R$은 쌍곡선 위의 점이므로

$b^{2}x_{1}^{2}-a^{2}y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}$

$s_{x}=\frac{2a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}m^{2}}$

반면 이는 $x$축 방향 성분의 곱이므로

$\therefore s=\frac{2a^{2}b^{2}}{\cos^{2}{\theta}(b^{2}-a^{2}m^{2})}$

$m^{2}=\tan^{2}{(\pi-\theta)}=\tan^{2}{\theta}=\frac{\sin^{2}{\theta}}{\cos^{2}{\theta}}$

이를 대입하면

$\therefore s=\frac{2a^{2}b^{2}}{b^{2}\cos^{2}{\theta}-a^{2}\sin^{2}{\theta}}$

$\sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}=1$

$m^{2}$식과 연립하면

$\cos^{2}{\theta}=\frac{1}{m^{2}+1}$

$\therefore s=\frac{2a^{2}b^{2}(m^{2}+1)}{b^{2}-a^{2}m^{2}}$

 

쌍곡선 위의 한 점을 지나는 임의의 직선이 켤래 쌍곡선과 만나는 점들과 쌍곡선 위의 점에 대한 거리의 곱은 일정하다.