페르마의 두 제곱수 정리

$p=4m+1$형태를 갖는 모든 소수는 제곱수 두 개의 합으로 표현된다. 즉, $p=x^{2}+y^{2}$으로 쓸 수 있는 적당한 양의 정수 $x,y \in \mathbb{N}$가 존재한다.

 

몇 가지 명제를 증명한 후에 본격적인 증명을 해보자.

• 두 제곱수의 합으로 표현되는 두 수를 곱하면 그 역시 두 제곱수의 합으로 표현할 수 있다.

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

• 어떤 두 제곱수의 합인 수 $a^2+b^2$가 두 제곱수의 합인 소인수 $c^2+d^2$를 갖는다면, 몫 $(a^2+b^2)/(c^2+d^2)$은 두 제 곱수의 합이다

위 가정에 의해 다음이 성립한다.

$c^2+d^2 | c^2(a^2+b^2)-a^2(c^2+d^2)=(bc+ad)(bc-ad)$

이때 $c^2+d^2$이 소수이므로 $c^2+d^2 | bc+ad$이거나 $c^2+d^2 | bc-ad$이다.

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

$c^2+d^2 | bc-ad$라고 하면 위 식에 의해 $c^2+d^2 | ac+bd$이다.

양 변을 $(c^2+d^2)^2$으로 나누면

$\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=(\frac{ac+bd}{c^2+d^2})^2+(\frac{ad-bc}{c^2+d^2})^2$

• 어떤 두 제곱수의 합인 수 $n$이 두 제곱수의 합이 아닌 약수 $p$를 갖는다면, 몫 $n/p$는 두 제곱수의 합이 아닌 약수를 갖는다.

귀류법을 이용해 $n/p$의 모든 약수가 두 제곱수의 합이라고 하자.

$n/p$의 약수 하나를 $q$라고 하면 이 역시 두 제곱수의 합이다. 

위에서 증명한 명제에 의해 $n/q$역시 두 제곱수의 합이다. 

$n=pq(a^2+b^2)$으로 쓰면 $q(a^2+b^2)$은 두 제곱수의 합이고 이것을 양변에 나누면

$n$도 역시 두 제곱수의 합이기 때문에 $n/q(a^2+b^2)=p$도 두 제곱수의 합이다.

반면 $p$는 두 제곱수의 합이 아니기 때문에 모순이다.

• 정수 $a,b,p$가 $\gcd(a,b)=1$이고 $p|a^2+b^2$이라고 하자. 그렇다면 $\gcd(c,d)=1$이고, $p|c^2+d^2$이며, $c^2+d^2 \le p^2/2$인 정수, $c,d$가 존재한다.

$a \equiv c \pmod{p}$, $b \equiv d \pmod{p}$, $|c|,|d| \le p/2$인 정수 $c,d$를 취하자.

$g=\gcd(c,d)$, $c^{\prime}=c/g$, $d^{\prime}=d/g$라고 정의하자. $\gcd(c^{\prime},d^{\prime})=1$이다.

$a-b \equiv c-d \pmod{p}$, $\gcd(a,b)=1$이기 때문에 좌변, 우변 어느쪽도 0이 될 수 없다.

따라서 $\gcd(p,a-b)=1$이고 유클리드 호제법에 따라서 $\gcd(a-b,p)=\gcd(p,a-b \pmod{p})=\gcd(p,c-d)$가 된다.

$\gcd(p,g(c^{\prime}-d^{\prime}))=1$이다. $\gcd(c^{\prime},d^{\prime})=1$이므로 $\gcd(p,g)=1$이다.

$p|c^2+d^2=g^2((c^{\prime})^{2}+(d^{\prime})^{2})$이므로 $p|(c^{\prime})^2+(d^{\prime})^2$

$(c^{\prime})^{2}+(d^{\prime})^{2} \le c^2+d^2 < p^2/2$

이므로 증명이 끝난다.

• 정수 $a,b$가 $\gcd{a,b}=1$이라면, $a^2+b^2$의 약수는 두 제곱수의 합이다.

귀류법을 이용해 $a^2+b^2$의 약수는 두 제곱수의 합이 아니라고 하자. 또, $p|a^2+b^2$이라 하자.

앞서 증명한 명제에 따라 다음을 만족하는 정수 $c,d$를 잡을 수 있다.

$\gcd(c,d)=1$, $p|c^2+d^2$, $c^2+d^2 \le p^2/2$

또, $(c^2+d^2)/p \le p/2$이다. 이때 어떤 소수 $q \le p/2$가 $q|c^2+d^2$을 만족시킨다.

다시 $e,f$를 잡게 되면

$\gcd(e,f)=1$, $q|e^2+f^2$, $e^2+f^2 \le q^2/2$

또, $(e^2+f^2)/q \le q/2$이다. 이때 어떤 소수 $r \le q/2$가 $r|e^2+f^2$을 만족시킨다.

이런 과정을 반복하면 $p>q>r> ...$인 무한 감소 수열이 만들어지며 이는 모순이다

 

위의 명제들을 이용해 두 제곱수 정리를 증명해보자.

$p$와 서로소이고 $\gcd(a,b)=1$인 두 정수 $a,b$를 잡자.

페르마의 소정리에 의해 

$a^{4n} \equiv 1 \pmod{p}$, $b^{4n} \equiv 1 \pmod{p}$

$a^{4n}-b^{4n} \equiv (a^{2n}+b^{2n})(a^{2n}-b^{2n}) \equiv 0 \pmod{p}$

위 가정에 의해 $a^{2n}-b^{2n} \not\equiv 0 \pmod{p}$이다.

따라서 $a^{2n}+b^{2n} \equiv 0 \pmod{p}$, 또 $\gcd(a^n,b^n)=1$

$a^{2n}+b^{2n}=(a^{n})^2+(b^{n})^2$으로 생각해보자. 또 $p|(a^{n})^2+(b^{n})^2$이므로

앞서 증명한 명제에 의해 $p$는 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.