포물선

포물선 $y^{2}=4px$위의 한 점 $A(x_{1},y_{1})$을 잡고 $A$와 초점 $F$를 지나는 직선을 그린다. 그 직선이 포물선과 만나는 다른 점을 $B(x_{2},y_{2})$라고 한다. 점 $A,\ B$에서 준선으로 내린 수선의 발을 각각 $A^{\prime},\ B^{\prime}$라 한다. 점 $A,\ B$에서의 포물선의 접선의 교점을 $N$이라고 한다.

포물선의 성질에의해

$\overleftrightarrow{AN} \perp \overleftrightarrow{BN}$

$\overleftrightarrow{A^{\prime}F} \perp \overleftrightarrow{B^{\prime}F}$

이다.

이번에 알아볼 것은 $\triangle ANB$와 $\triangle A^{\prime}FB^{\prime}$의 교점의 특성이다.

 

순서

1. $\overleftrightarrow{AN}$과 $\overleftrightarrow{A^{\prime}F}$의 교점 구하기

2. $\overleftrightarrow{BN}$과 $\overleftrightarrow{B^{\prime}F}$의 교점 구하기

 

1.

$N(-p,\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$

$\overline{NA} : y=\frac{y_{1}-y_{2}}{2(x_{1}+p)}(x+p)+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

$\overline{A^{\prime}F} : y=\frac{-y_{1}}{2p}(x-p)$

교점을 구하기 위해 두 식을 같다고 하면

$\frac{y_{1}-y_{2}}{2(x_{1}+p)}(x+p)+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{-y_{1}}{2p}(x-p)$

$(p(y_{1}-y_{2})+y_{1}(x_{1}+p))x=-p(x_{1}y_{2}+py_{1})$

우변의 항에 $x_{1}=\frac{y_{1}^{2}}{4p}$를 대입하면

$=-p(\frac{y_{1}^{2}y_{2}}{4p}+py_{1})$

이떄 포물선의 성질에 의해

$x_{1}x_{2}=p^{2}$

$y_{1}y_{2}=-4p^{2}$

이 성립한다. 이를 이용하면

$=0$

따라서 $y$축에 교점이 존재한다는 것을 알 수 있다.

또 그 $y$좌표는 $\frac{y_{1}}{2}$이다.

 

2.

같은 방법으로

$\overline{NB} : y=\frac{y_{2}-y_{1}}{2(x_{2}+p)}(x+p)+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

$\overline{B^{\prime}F} : y=\frac{-y_{2}}{2p}(x-p)$

교점을 구하기 위해 두 식을 같다고 하면

$\frac{y_{2}-y_{1}}{2(x_{2}+p)}(x+p)+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{-y_{2}}{2p}(x-p)$

$(p(y_{2}-y_{1})+y_{2}(x_{2}+p))x=-p(x_{2}y_{1}+py_{2})$

우변의 항에 $x_{2}=\frac{y_{2}^{2}}{4p}$를 대입하면

$=-p(\frac{y_{2}^{2}y_{1}}{4p}+py_{2})$

앞의 성질을 이용하면

$=0$

따라서 $y$축에 교점이 존재한다는 것을 알 수 있다.

또 그 $y$좌표는 $\frac{y_{2}}{2}$이다.

 

<정리>

$\triangle ANB$와 $\triangle A^{\prime}FB^{\prime}$의 교점은 $(0,\ \frac{y_{1}}{2}),\ (0,\ \frac{y_{2}}{2})$이다.