절댓값 합 함수(Ⅱ)

Ⅱ. 절댓값 합 함수의 개형

초록색, 보라색 그래프는 절댓값 합 함수이다. 검은색 함수는 이차함수이다. 가면 갈수록 이차함수와 비슷해지는 것이 보이는가?

절댓값 함수의 기울기 변화량에 대해 알아보자.

공차가 1인 절댓값 함수들을 더하면 더한 개수에 따라 기울기가 달라진다.

더한 개수가 짝수 개인 경우는 0부터 시작하여 2 간격으로,

홀수 개인 경우는 1부터 시작하여 2 간격으로 증가한다.

보충설명

이러한 까닭은 범위가 바뀜에 따라 절댓값 기호를 빠져나오며 $x$값이 양수인 부분과 음수인 부분으로 나뉘고 양수인 부분과 음수인 부분의 전체 개수는 일정하기 때문이다.

공차가 무엇이 되건 기울기는 $x$값의 계수로 결정되므로 공차와 관계없이 항상 성립한다.

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Chapter 1. 이차함수의 설정

그림을 보았을 때 초록색 절댓값 합 함수를 이루는 각각의 직선들이 이차함수와 접하는 것을 알 수 있다. 그렇다면 과연 이차함수의 특정한 접선의 집합이 절댓값 함수로 나타나는지 알아보자.

이차함수가 다음과 같다고 하자.

$y=x^2$

미분한 식은

$y'=2x$

$(k, k^{2})\ (k \in \mathbb{Z})$라는 점에서 접한다고 하면 일차함수는 아래와 같이 표현된다.

$y=2k(x-k)+k^2=2kx-k^2$

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Chapter 2. 절댓값 합 함수의 설정

이차함수와 접하게 하려면 꼭짓점을 같게 놓아야 할 것이다. 그 꼭짓점은 함숫값이 최소인 점이다.

절댓값 합 함수가 최소가 되는 점의 $x$값은 절댓값 합 함수의 중앙에 위치한다.

그 까닭은 각 절댓값 항을 0으로 만드는 값, 즉 $n$이 작은 항들은 양수가 나오고 중앙보다 큰 항들은 음수가 나오기 때문이다. 

최대한 많은 항을 대칭적으로 만들기 위해 $L=\frac{k+1}{2}$를 대입한다.

$f(L)=(L-1)+(L-2)+...+((k-1)-L)+(k-L)$

각 항을 $\{p_{n}\}$라고 할 때 $i$번째 항과 $k-i+1$번째 항의 합은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$p_{i}+p_{k-i+1}=k+1-2i$

따라서 $f(L)$은 1부터 $k-1$까지의 합과 같으므로

$f(L)=\frac{k\frac{k}{2}}{2}=\frac{k^{2}}{4}$

이때 $y$ 죄표가 0이 되어야 하고 최소를 가질 때의 $x$역시 0이어야 하므로 식을 표현하면 다음과 같다.

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Chapter 3. 범위와 절댓값 합 함수의 표현

우리는 각 부분마다 기울기가 어떻게 달라지는지 조사해야한다.

1) $\alpha$ 내부

$f(x)=...+|x-(\frac{k}{2}-1)|+|x-\frac{k}{2}|+|x-(\frac{k}{2}+1)|+|x-(\frac{k}{2}+2)|+...$

임의의 정수 $\alpha$에 대하여 다음이 성립한다고 하자.

$\frac{k}{2}+\alpha<x<\frac{k}{2}+1+\alpha$

이때 $f(x)$는 어떻게 표현될까?

먼저 $Q_{n}=|x-(\frac{k}{2}-n)+1|+|x-(\frac{k}{2}+n)|$ 이라고 정의하자.

$x < \frac{k}{2}+\alpha$ 일 때

$Q_{i}=-k+1\ (i \leqslant \alpha, i \in \mathbb{Z})$

가 성립한다.

 

2) $\alpha$ 외부

내부를 계산하고 나면 양 끝에 항이 남는다.

오른쪽 항 : $(\frac{k}{2}+\alpha+1)+(\frac{k}{2}+\alpha+2)+...+(k)$

왼쪽 항 : $-((1)+...(\frac{k}{2}-\alpha-1)+(\frac{k}{2}-\alpha))$

오른쪽 항 $+$ 왼쪽 항 $=$ $(\frac{k}{2}+\alpha)(\frac{k}{2}-\alpha)=\frac{k^{2}}{4}-\alpha^{2}$

반면 우리는 평행이동을 했다.

3) 범위와 함수

$x$방향 평행이동은 1번 계산에서만 고려하면 된다. 2번에서는 소거되기 때문이다.

$Q$의 각 항마다 $k+1$을 더해주면 된다. 따라서 $Q_{i}=0$

$y$방향 평행이동은 2번에서 빼준다면 남은 식은 $-\alpha^{2}$이다.

 

우리는 앞서 기울기가 0부터 2씩 증가함을 알고있고 위의 계산 결과를 바탕으로 식을 만들면

$\frac{k}{2}+\alpha<x<\frac{k}{2}+1+\alpha \longrightarrow F(x)=2\alpha x-\alpha^{2}$

이는 정확히 이차함수의 접선의 방정식과 일치한다.

 

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Chapter 4. 공차의 일반화

앞서 우리는 절댓값 기호 내부의 $n$이 1씩 증가하는 공차가 1인 경우를 다루었다.

이제 공차를 $d$리고 정의하고 일반화 시켜보자.

첫 항이 1이고 마지막 항이 $1+d(k-1)$라면 중앙의 값은 $1+\frac{d(k-1)}{2}$이다.

위와 같은 방법으로 $F(x)$를 간단히 하면 아래와 같다.

위 식에서 각 범위는 1차이가 났다. 공차가 $d$인 경우 $d$씩 차이가 나야한다. 따라서 범위는

$\frac{k}{2}+\alpha<x<\frac{k}{2}+d+\alpha$

여기서 중요한 부분은 $d|\alpha$ 라는 것이다.

같은 방식으로 최종 식을 구하면

$F(x)=2\alpha x-\alpha^{2}$

이것을 $y=x^{2}$의 접선 식과 같다고 하려 했더니 $\alpha$는 모든 정수가 될 수 없다. 항상 $d$의 배수여야한다.

$\frac{\alpha}{d}$는 모든 정수가 될 수 있다. 따라서

$F(x)=2\frac{\alpha}{d} x-\frac{\alpha^{2}}{d^{2}}$

가 된다. 기울기를 부정적분하면

$\int \frac{2\alpha}{d}\ \  d\alpha=\frac{\alpha^{2}}{d}+c$

$x=\alpha$이고 $(0, 0)$을 지나므로

$y=\frac{x^{2}}{d}$

에 접함을 알 수 있다.