절댓값 합 함수(Ⅰ)

Ⅰ. 절댓값 합 함수의 특성

1부터 시작하며 빼는 값의 공차가 1인 1차 절댓값 함수들을 순서대로 더하고 더할 때마다 절댓값 안의 값이 0이 되게 하는 $x$값을 대입하여 값의 규칙성을 알아보자. 식으로 나타내면 다음과 같다.

 

왼쪽부터 순서대로 $n=1,\ 2,\ 3, ...$ 의 순서이다.

화살표로 이어진 상자마다 규칙이 있다. $n=1$ 상자와 $n=2$ 상자를 보면 $(1, 0)$에서 $(2, 1)$로 이어진다. 다음 상자를 보면 $(3, 3), (4, 6)$이다. 여기서 $x+a_{n-1}(x)$ 가 $a_{n}(x+1)$ 와 같다는 것을 알 수 있다.

임의의 정수 $m$에 대해 다음과 같은 일반항을 얻는다.

이제 공차가 1이 아닌 절댓값 함수에 대해서도 알아보자.

왼쪽은 공차가 2인 경우이며 오른쪽은 공차가 1인 경우이다. 함숫값이 정확히 2배가 되었다.

이번에는 $a_{n-1}(x)$와 $x$값의 합에 1을 더한 값이 $n$의 함숫값이 되었다. 일반항을 써보면 다음과 같다.

<일반화>

$n$의 $^{\forall} m$ 에 대해 $x=1+md$ 이다.

$\alpha=a_{n}(x)$ 이고 $\beta=a_{n+1}(x+d)$ 이다.

$\alpha=md+(m-1)d+ ...+d+0+d+...+(n-m-1)d$

$\beta=(m+1)d+...+d+0+d+...+(n-m-1)d$

$\beta-\alpha=(m+1)d$

$a_{n+1}(1+(m+1)d)$

$=a_{n}(1+md)+(m+1)d$

$=a_{n}(1+md)+1+md+d-1$

따라서

$p=1+md$ 이면

아직 우리에게는 해결해야할 문제가 남아있다.

공차가 $k$배 차이나면 왜 함숫값이 $k$배 차이 나게되는가?

<증명>

함숫값이 $k$배 차이나는 부분은 $n$과 $m$ 값이 같을 때이다.

한 함수의 공차를 $d$라고 하면 다른 함수의 공차는 $kd$가 된다.

반면 각 절댓값 항을 0으로 만드는 수는 $1+md$와 $1+kmd$가 될 것이다.

공차가 $d$ 일 때 $a_{n}(1+md)=md+(m-1)d+...+0+...+(n-1-m)d$

공차가 $kd$ 일 때 $a_{n}(1+kmd)=kmd+(m-1)kd+...+0+...+(n-1-m)kd$

이들의 각 항이 $k$배 차이남을 알 수 있다.