유리수 무리수

문제

소수 $p$와 서로소인 자연수 $m,\ n (m>n>0)$ 에 대하여 $p^{\frac{n}{m}}$ 은 유리수인가 무리수인가?

 

탐구

$\frac{n}{m}>\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}$

를 만족하는 최소의 자연수 $a_{1}$ 가 존재한다.

 

$\frac{n}{m}-\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}>\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}$

를 만족하는 최소의 자연수 $a_{2}$ 가 존재한다.

 

이를 귀납적으로 반복하게 되면 결국 다음과 같이 표현된다.

 

$\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} \frac{n}{m} = \frac{1}{\ 2^{a_{1}}}+\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}$

 

 

$p^{\frac{1}{\ 2^{n}}}$ 의 귀납적 증명

1. $n=1$

$\sqrt{p} = \frac{a}{b}$ ($(a,\ b)=1$)라고 하자.

 

$pb^{2}=a^{2}$

 

$p\ |\ a^{2} \Leftrightarrow p^{2}\ |\ a^{2} \therefore a^{2} = p^{2}q$ ($q$는 정수)

 

$b^{2}=pq$

 

$p\ |\ b^{2} \leftrightarrow p^{2}\ |\ b^{2}$

 

이것은 $a,\ b$가 서로소 라는 것에 모순이다. 따라서 $n=1$ 일 때 무리수이다.

 

2. $n=m$ 일 때 성립하면 $n=m+1$ 일 때도 성립한다.

$p^{\frac{1}{2^{m+1}}} = \frac{a}{b}$ ($(a, b)=1$) 이라고 하자

 

양 변을 제곱하면

$p^{\frac{1}{2^{m}}} = \left(\frac{a}{b} \right)^{2}$

 

이는 $n=m$ 일 때 무리수가 된다는 조건에 모순이다. 따라서 $n=m+1$ 일 때도 무리수이다.

우리는 다음 명제를 이끌어 낼 수 있다.

 

2의 거듭제곱 지수를 가지는 무리수는 제곱근 연산에 닫혀있다. $\cdot\cdot\cdot *$

 

얻은 식들을 조합하면 다음과 같다.

$p^{\frac{n}{m}}=\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} p^{\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}+\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}}$

 

$=\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} p^{\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}}\cdot p^{\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}}\cdot ... \cdot p^{\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}}$

 

우리는 각 항이 무리수라는 것을 안다. 반면 무리수는 곱 연산에 닫혀있지 않다. 하지만 우리는 $*$을 이용해서 어떤 수인지 판별할 수 있다.

 

$A =\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} p^{\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}}\cdot p^{\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}}\cdot ... \cdot p^{\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}}$

 

양 변을 $2^{a_{k}-1}$ 제곱해보자.

 

$\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} A^{\ 2^{a_{k}-1}} = p^{\ 2^{a_{k}-a_{1}-1}}\cdot p^{\ 2^{a_{k}-a_{2}-1}}\cdot \cdot\cdot\cdot \cdot \sqrt{p}$

 

$\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} A^{2^{a_{k}-1}} = \mathbb{Q} \sqrt{p} = \mathbb{I}$

 

$\therefore A \in \mathbb{I}$ ( $\because *$)