특성방정식의 유도

문제

$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$ 을 만족하는 수열 $\{a_{n}\}$ 을 구하여라.

 

탐구

$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$

 

$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=p+q\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$

 

새로운 수열 $\{b_{n}\}$ 은 다음과 같이 정의된다.

 

$b_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$

 

원래 식을 정리하면

 

$\frac{1}{b_{n+1}}=p+qb_{n}$

 

$1=pb_{n+1}+qb_{n}b_{n+1}$

 

어떤 실수 $k$ 와 $A$ 에 대해 다음이 성립한다고 하자.

 

$1+kb_{n+1}=Ab_{n+1}(1+kb_{n})$

 

그럼 실수 $k$, $A$ 는 다음을 만족한다.

 

$Ak=q,\ A-k=p\ \Leftrightarrow k^{2}+pk-q=0$

 

위의 $k$ 에 관한 이차방정식의 해를 각각 $\alpha,\ \beta$ 라고 하자.

 

새로운 수열 $\{c_{n}\}$ 은 다음과 같이 정의된다.

 

$c_{n}=1+kb_{n}$

 

따라서

 

$c_{n+1}=Ab_{n+1}c_{n}$

 

$c_{n+1}a_{n+2}=Ac_{n}a_{n+1}$

 

$c_{n}a_{n+1}=A^{n-1}c_{1}a_{2}$

 

$(1+k\frac{a_{n}}{a_{n+1}})a_{n+1}=a_{n+1}+ka_{n}=A^{n-1}(a_{2}+ka_{1})$

 

위에서 구한 두 근을 각각 경우로 나타내보면

 

$a_{n+1}+\alpha a_{n}=(\frac{q}{\alpha})^{n-1}(a_{2}+\alpha a_{1})=(-\beta)^{n-1}(a_{2}+\alpha a_{1})$

 

$a_{n+1}+\beta a_{n}=(\frac{q}{\beta})^{n-1}(a_{2}+\beta a_{1})=(-\alpha)^{n-1}(a_{2}+\beta a_{1})$

 

두 식을 빼면

 

$(\alpha-\beta)a_{n}=(-\beta)^{n-1}(a_{2}+\alpha a_{1})-(-\alpha)^{n-1}(a_{2}+\beta a_{1})$

 

 

$\alpha \ne \beta$ 인 경우

 

$a_{n}=(-\beta)^{n-1}(\frac{a_{2}+\alpha a_{1}}{\alpha-\beta})-(-\alpha)^{n-1}(\frac{a_{2}+\beta a_{1}}{\alpha-\beta})$

 

이때 초기값으로 결정되는 부분을 각각 상수 $i$, $j$ 로 바꾸면

 

$\therefore a_{n}=i(-\beta)^{n-1}-j(-\alpha)^{n-1}$

 

 

$\alpha=\beta$ 인 경우

 

$a_{n+1}+\alpha a_{n}=(\frac{q}{\alpha})^{n-1}(a_{2}+\alpha a_{1})=(-\alpha)^{n-1}(a_{2}+\alpha a_{1})$

 

$-\alpha=K$ 라고 하면

 

$\frac{a_{n+1}}{K^{n+1}}-\frac{a_{n}}{K^{n}}=\frac{a_{2}-Ka_{1}}{K^{2}}$

 

새로운 수열 $\{d_{n}\}$ 은 다음과 같이 정의된다.

 

$d_{n}=\frac{a_{n}}{K^{n}}$

 

식의 우변은 상수이므로 $L$ 로 처리하면

 

$d_{n+1}-d_{n}=L$

 

$d_{n}=L(n-1)+d_{1}$

 

$\therefore a_{n}=K^{n}(L(n-1)+d_{1})=(-\alpha)^{n}(L(n-1)+d_{1})$