외심과 내심

문제

$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 의 내접원과 변 $B_{1}C_{1}$, $C_{1}A_{1}$, $A_{1}B_{1}$ 의 접점을 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$라고 하자 새로운 삼각형인 $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ 에서 위 과정을 반복할 때 $n$이 무한히 커진다면 $\triangle A_{n}B_{n}C_{n}$ 은 어떤 삼각형이 되겠는가?

 

정의

$n$ 번째 삼각형의 요소는 아래 첨자에 $n$ 을 써서 나타낸다.
$\angle k_{n}/2 = \angle k^{\prime}_{n}$
$\angle A_{n} = \alpha_{n}$
$\angle B_{n} = \beta_{n}$
$\angle C_{n} = \gamma_{n}$
외접원의 반지름 = $R$
내접원의 반지름 = $r$

탐구

$\overline{I_{n}C_{n+1}} = \overline{I_{n}A_{n+1}} = r_{n}$

 

$\triangle I_{n}C_{n+1}B_{n} \equiv \triangle I_{n}A_{n+1}B_{n}$ ($RHS$ 합동)

 

$\therefore \angle I_{n}B_{n}A_{n+1} = \beta^{\prime}_{n}$

 

$\triangle C_{n+1}A_{n+1}B_{n}$ 에서

 

$\angle B_{n}I_{n}A_{n+1} = \angle A_{n+1}I_{n}P$

 

$\triangle B_{n}I_{n}A_{n+1}  \sim \triangle A_{n+1}I_{n}P$ ($RHA$ 닮음)

 

$\therefore \angle I_{n}B_{n}A_{n+1} = \angle I_{n}A_{n+1}P$

 

 

중심각은 원주각의 2배이므로

 

$k = 2\alpha_{n+1}$

 

$\Box A_{n}C_{n+1}I_{n}B_{n+1}$ 의 내각의 합은 $360^{\circ}$ 이므로

 

$\alpha_{n}+2\alpha_{n+1}+180^{\circ} = 360^{\circ}$

 

$\alpha_{n+1}=90^{\circ} - \frac{\alpha_{n}}{2}$$\cdot\cdot\cdot①$

 

$\beta_{n+1}=90^{\circ} - \frac{\beta_{n}}{2}$$\cdot\cdot\cdot①$

 

$\gamma_{n+1}=90^{\circ} - \frac{\gamma_{n}}{2}$$\cdot\cdot\cdot①$

 

$\triangle A_{n+1}I_{n}C_{n+1}$ 은 이등변삼각형이다.

 

$\overline{C_{n+1}A_{n+1}} = 2R_{n+1}\cos {\beta^{\prime}_{n}}$

 

$\overline{I_{n}P} = R_{n+1}\sin {\beta^{\prime}_{n}}$

 

$\triangle A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$

 

       $= \frac{1}{2} r_{n+1}(\overline{A_{n+1}B_{n+1}}+\overline{B_{n+1}C_{n+1}}+\overline{C_{n+1}A_{n+1}})$

 

       $= r_{n+1}R_{n+1}(\cos {\alpha^{\prime}_{n}}+\cos {\beta^{\prime}_{n}}+\cos {\gamma^{\prime}_{n}})$ $\cdot\cdot\cdot②$

 

       $= \frac{1}{2} R^{2}_{n+1}(2\cos {\alpha^{\prime}_{n}}\sin {\alpha^{\prime}_{n}}+2\cos {\beta^{\prime}_{n}}\sin {\beta^{\prime}_{n}}+2\cos {\gamma^{\prime}_{n}}\sin {\gamma^{\prime}_{n}})$

       

       $= \frac{1}{2} R^{2}_{n+1}(\sin {\alpha_{n}}+\sin {\beta_{n}}+\sin {\gamma_{n}})$ $\cdot\cdot\cdot③$

 

$②$와 $③$ 를 같다고 하면

 

$2r_{n+1} = R_{n+1} \frac{\sin {\alpha_{n}}+\sin {\beta_{n}}+\sin {\gamma_{n}}}{\cos {\alpha^{\prime}_{n}}+\cos {\beta^{\prime}_{n}}+\cos {\gamma^{\prime}_{n}}}$

 

$= R_{n+1} \frac{\sin {\alpha_{n}}+\sin {\beta_{n}}+\sin {\gamma_{n}}}{\sin {\alpha_{n+1}}+\sin {\beta_{n+1}}+\sin {\gamma_{n+1}}}$ ( $\because①$)

 

다음 단계 전에 알고 가야할 것이 있다.

 

$\alpha +\beta +\gamma = 180^{\circ}$ 일 때

 

$\sin {\alpha}+\sin {\beta}+\sin {\gamma}$

 

$= 2\sin {\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos {\frac{\alpha-\beta}{2}}+\cos {\gamma}$

 

$= 2\sin {\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos {\frac{\alpha-\beta}{2}}+2\sin {\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos {\frac{\alpha+\beta}{2}}$

 

$= 2\sin {\frac{\alpha+\beta}{2}}(\cos {\frac{\alpha-\beta}{2}}+\cos {\frac{\alpha+\beta}{2}})$

 

$= 4\cos {\frac{\alpha}{2}}\cos {\frac{\beta}{2}}\cos {\frac{\gamma}{2}}$ $\cdot\cdot\cdot \star$

 

이제 가보자.

 

$= R_{n+1} \frac{\cos {\alpha^{\prime}_{n}}\cos {\beta^{\prime}_{n}}\cos {\gamma^{\prime}_{n}}}{\cos {\alpha^{\prime}_{n+1}}\cos {\beta^{\prime}_{n+1}}\cos {\gamma^{\prime}_{n+1}}}$ ( $\because \star$)

 

$= 8R_{n+1}\sin {\alpha^{\prime}_{n+1}}\sin {\beta^{\prime}_{n+1}}\sin {\gamma^{\prime}_{n+1}}$ ( $\because①$)

 

$\therefore r_{n+1} = 4R_{n+1}\sin {\alpha^{\prime}_{n+1}}\sin {\beta^{\prime}_{n+1}}\sin {\gamma^{\prime}_{n+1}}$

 

한편, $\alpha_{n}$ 에 대한 점화식

 

$\alpha_{n+1} = \frac{\pi}{2}-\frac{\alpha_{n}}{2}$

 

$(\alpha_{n+1}-\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}({\alpha_{n}}-\frac{\pi}{3})$

 

$x_{n} = {\alpha_{n}}-\frac{\pi}{3}$

 

$x_{n+1} = \left(-\frac{1}{2} \right)x_{n}$

 

$x_{n}=\left(-\frac{1}{2} \right)^{n-1}x_{1}$

 

$\alpha_{n} = \left(-\frac{1}{2} \right)^{n-1}x_{1}+\frac{\pi}{3}$

 

$\underset{{n \to \infty}_{}}{\lim} \alpha_{n} =\frac{\pi}{3}$

 

같은 방법으로

 

$\underset{{n \to \infty}_{}}{\lim} \beta_{n} =\frac{\pi}{3}$

 

$\underset{{n \to \infty}_{}}{\lim} \gamma_{n} =\frac{\pi}{3}$

 

따라서

 

$\underset{{n \to \infty}_{}}{\lim} \frac{r_{n+1}}{R_{n+1}} =4\sin {\frac{\pi}{6}}\sin {\frac{\pi}{6}}\sin {\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$ $\cdot\cdot\cdot④$

 

외심과 내심 사이의 거리를 $d_{n}$ 이라고 정의하자.

 

$d_{n} = \sqrt{R_{n}^{2}-2R_{n}r_{n}}$ ($\because$ 오일러 삼각형 정리)

$R_{n}$ 은 감소 수열이므로

 

$\underset{{n \to \infty}_{}}{\lim}  0\le d_{n}\le R_{1}\sqrt{1-2\frac{r_{n+1}}{R_{n+1}}}$

 

$\underset{{n \to \infty}_{}}{\lim}  0\le d_{n}\le R_{1}\cdot 0$ ( $\because④$)

 

조임정리에 의하여

$\underset{{n \to \infty}_{}}{\lim} d_{n} = 0$

 

이는 외심과 내심이 일치함을 알려준다. 따라서 우리가 찾는 삼각형은 정삼각형임을 알 수 있다.