조립제법과 다항식의 표현

조립제법(Synthetic division)

피제수와 제수의 각 계수들로 조립제법의 형태를 세우고 이 형식으로 나눗셈을 수행하는 것
(위키피디아_조립제법)

$\frac{L(x)}{T(x)}$

여기서 $L(x)$ 는 피제수 $T(x)$ 는 제수이다.

 

$L(x)$ 와 $T(x)$ 가 각각 다항식이면 우리는 조립제법을 적용할 수 있다.

 

이번 글에서는 $T(x)$ 의 최고차항의 계수가 1이고 1차식인 경우만 다루겠다.

 

$L(x)$ 와 $T(x)$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$L(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{0}$

 

$T(x)=x-m$

 

조립제법을 $T(x)=0$ 의 근인 $m$ 으로 적용해보자.

 

조립제법의 가장 마지막 항을 먼저 진행된 순서대로 $L_{1}, L_{2}, ...$ 라고 설정하자.

 

명백하게 $L_{k}(x)$를 조립제법해서 나온 몫이 $L_{k+1}(x)$ 이고 항상 나머지는 몫에 $m$ 을 대입한 값이다.

 

조립제법을 $n$ 번 수행했다고 할 때 $L(x)$ 는 다음과 같이 표현 될 수 있다.

 

$L(x)=L_{n+1}(m)(x-m)^{n}+L_{n}(m)(x-m)^{n-1}+...+L_{1}(m)$

 

우리는 $L(m)=L_{1}(m)$ 임을 알 수 있다.

 

이때

 

$L(x)-L(m)=(x-m)(L_{k+1}(m)(x-t)^{n-1}+...+L_{2}(m))$

 

$\frac{L(x)-L(m)}{x-m}=L_{k+1}(m)(x-t)^{n-1}+...+L_{2}(m)$

 

$\underset{{x \to m}_{}}{\lim} \frac{L(x)-L(m)}{x-m}=L^{\prime}(m)=L_{2}(m)$ ($\because$ 미분의 정의)

 

$L(x)$를 미분하면 다음과 같다.

 

$L^{\prime}(x)=nL_{n+1}(m)(x-m)^{n-1}+(n-1)L_{n}(m)(x-m)^{n-2}+...+1!L_{2}(m)$

 

이 식에서 위와 같은 방법을 계속하면 조립제법으로 나타낸 다항식의 각 항의 계수는 원래 식을 $k$ 회 미분한 것을 $k!$으로 나누는 것임을 알 수 있다.

이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$\frac{L^{(k)}(m)}{k!}$

$\therefore L(x)=\sum_{k=0}^n \frac{L^{(k)}(m)}{k!}(x-m)^k$