무게중심

문제

$\triangle ABC$ 에서 $\overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2}+\overline{PC}^{2}$ 의 값이 최소가 되는 점 $P$ 가 무게중심임을 보여라.

 

탐구

$\triangle ABC$ 와 합동인 삼각형 하나를 더하여 평행사변형을 만들 수 있다.

파란색, 분홍색, 갈색의 선분은 각각 길이가 같다.

 

$BB'=\overline{B'P'}+\overline{PP'}+\overline{BP}=2\overline{BP}+\overline{PP'}$ 라고 정의하겠다.

 

$(BB')^{2}=4\overline{BP}^{2}+4\overline{BP}\ \overline{PP'}+\overline{PP'}^{2}$

 

$\Box APCP'$ 은 2쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다.

 

평행사변형의 성질에 의하여 두 대각선은 서로를 이등분하므로 $\overline{CO}=\overline{OA}$

 

중선정리에 의해

 

$\overline{PA}^{2}+\overline{PC}^{2}=2(\overline{PO}^{2}+\overline{CO}^{2})$

 

$2(\overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2}+\overline{PC}^{2})=(BB')^{2}+\overline{AC}^{2}-2\overline{BP}(\overline{BP}+2\overline{PP'})$

 

$=2\overline{BP}^{2}+\overline{PP'}^{2}+\overline{AC}^{2}$

 

$=\overline{BP}^{2}+\overline{PP'}^{2}+\overline{B'P'}^{2}+\overline{AC}^{2}$

 

$\overline{AC}$ 는 일정하므로 $\overline{BP}^{2}+\overline{PP'}^{2}+\overline{B'P'}^{2}$ 가 최소여야한다.

 

반면

$\overline{BP}^{2}+\overline{PP'}^{2}+\overline{B'P'}^{2}\le(\overline{BP}+\overline{PP'}+\overline{B'P'})^{2}$

 

따라서 $\overline{BP}+\overline{PP'}+\overline{B'P'}$ 가 최소여야 하므로 $BB'=\overline{BB'}$을 만족한다.

 

$\Box ABCB'$ 도 평행사변형이므로 $\overline{CO}$는 $\overline{AB}$를 이등분한다.

 

위와 같은 과정을 꼭짓점 A, C에 대해서 반복하면 점 P는 삼각형의 세 변의 중선의 교점임을 알 수 있고 이는 무게중심의 정의와 일치한다.