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유리수 무리수

2021. 1. 18. 16:27수학

문제

소수 p와 서로소인 자연수 m, n(m>n>0) 에 대하여 pnm 은 유리수인가 무리수인가?

 

탐구

nm>1 2a1

를 만족하는 최소의 자연수 a1 가 존재한다.

 

nm1 2a1>1 2a2

를 만족하는 최소의 자연수 a2 가 존재한다.

 

이를 귀납적으로 반복하게 되면 결국 다음과 같이 표현된다.

 

lim

 

 

p^{\frac{1}{\ 2^{n}}} 의 귀납적 증명

1. n=1

\sqrt{p} = \frac{a}{b} ((a,\ b)=1)라고 하자.

 

pb^{2}=a^{2}

 

p\ |\ a^{2} \Leftrightarrow p^{2}\ |\ a^{2} \therefore a^{2} = p^{2}q (q는 정수)

 

b^{2}=pq

 

p\ |\ b^{2} \leftrightarrow p^{2}\ |\ b^{2}

 

이것은 a,\ b가 서로소 라는 것에 모순이다. 따라서 n=1 일 때 무리수이다.

 

2. n=m 일 때 성립하면 n=m+1 일 때도 성립한다.

p^{\frac{1}{2^{m+1}}} = \frac{a}{b} ((a, b)=1) 이라고 하자

 

양 변을 제곱하면

p^{\frac{1}{2^{m}}} = \left(\frac{a}{b} \right)^{2}

 

이는 n=m 일 때 무리수가 된다는 조건에 모순이다. 따라서 n=m+1 일 때도 무리수이다.

우리는 다음 명제를 이끌어 낼 수 있다.

 

2의 거듭제곱 지수를 가지는 무리수는 제곱근 연산에 닫혀있다. \cdot\cdot\cdot *

 

얻은 식들을 조합하면 다음과 같다.

p^{\frac{n}{m}}=\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} p^{\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}+\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}}

 

=\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} p^{\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}}\cdot p^{\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}}\cdot ... \cdot p^{\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}}

 

우리는 각 항이 무리수라는 것을 안다. 반면 무리수는 곱 연산에 닫혀있지 않다. 하지만 우리는 *을 이용해서 어떤 수인지 판별할 수 있다.

 

A =\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} p^{\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}}\cdot p^{\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}}\cdot ... \cdot p^{\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}}

 

양 변을 2^{a_{k}-1} 제곱해보자.

 

\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} A^{\ 2^{a_{k}-1}} = p^{\ 2^{a_{k}-a_{1}-1}}\cdot p^{\ 2^{a_{k}-a_{2}-1}}\cdot \cdot\cdot\cdot \cdot \sqrt{p}

 

\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} A^{2^{a_{k}-1}} = \mathbb{Q} \sqrt{p} = \mathbb{I}

 

\therefore A \in \mathbb{I} ( \because *)

 

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