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쌍곡선 위의 한 점
쌍곡선 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 위의 한 점 $R$에서 기울기가 $m$인 직선이 켤래 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 $P,\ Q$라고 하자. 이때, $\overline{PR}\cdot\overline{QR}$의 값을 확인해보자. $\overline{PR}\cdot\overline{QR}$의 값이 일정해보인다. 증명해보자. $x$축과 직선이 이루는 각을 $\theta$라고 하자. 기울어진 선분의 길이는 수평선보다 구하기 어려우므로 $\theta$를 이용해 각 길이를 수평으로 표현할 수 있다. $P(\alpha_{1},\ \beta_{1})$, $Q(\alpha_{2},\ \beta_{2})$, $R(x_{1},\ y_{1})$ 이라고 하자. 그때 수평선..
2021.03.11 -
윌슨의 정리 확장판
윌슨의 정리를 한 번 볼까? 소수 $p$에 대해 $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$ 정수론을 배우다보면 페르마의 소정리가 아래와 같이 일반화 된다. $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}, (p,a)=1$ $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}, (n,a)=1$ 윌슨의 정리는 $n$과 서로소인 수들의 곱을 $n$으로 나누었다고 볼 수 있다. 이를 일반화시켜보자. 5와 서로소인 자연수의 곱=$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4= 24\equiv -1 \pmod{5}$ 6과 서로소인 자연수의 곱=$1\cdot 5= 5 \equiv -1 \pmod{6}$ 8과 서로소인 자연수의 곱=$1\cdot 3\cdot 5\cdot7 =105 \equiv 1 \pmod{8..
2021.02.25 -
삼각함수의 극한
오늘은 원을 가지고 놀것이다! 먼저 원을 그리고 원의 지름을 표시한다. 여기서 지름의 한 쪽 끝부터 시작하여 일정한 각도로, 원의 중심을 기준으로, 반시계 방향으로 회전 시켜 점들을 찍어준다. 그 후 점을 다음과 같이 연결시켜준다. 점의 개수가 늘어날수록 색칠된 부분이 반원을 덮는 것을 관찰할 수 있다. 그럼! 이 다각형의 넓이를 구해서 반원의 넓이가 되는지 알아보자. 1. 넓이 구하기 총 $n$개의 점을 $\theta$만큼 회전시키며 찍었다고 하자. $\theta$를 구하면 $2(n+1)\theta=\pi$ $\theta=\frac{\pi}{2(n+1)}$ 우리가 구하고자 하는 넓이 $s$는 $s=\triangle ABC_{1}+\triangle AC_{1}C_{2}+\cdot\cdot\cdot+\tr..
2021.02.19 -
재귀적 규칙
다음과 같은 수열을 생각해보자. $0\ 1\ 0\ 2\ 0\ 1\ 0\ 3\ 0\ 1\ 0\ 2\cdot\cdot\cdot$ $0$이 아닌 항들을 모아보면 $1\ 2\ 1\ 3\ 1\ 2$ 위의 수열 $+1$이다. 또 여기서 $1$이 아닌 항들을 모아보면 $2\ 3\ 2$ 다시 위의 수열 $+1$이다. 이 포스팅의 제목이 재귀적 규칙인 이유이다. 위 수열을 정의해보자. 수열 $\left\{k_{i\ n}\right\}$를 다음과 같이 정의한다. $1$이 아닌 자연수 $m$과 임의의 자연수 $\lambda$에 대해 $k_{1}=1,\ 2,\ 3,\ 4\cdot\cdot\cdot$ $k_{i}=m^{\lambda(i-1)}k_{1}$ $\left\{p_{i}\right\}$는 $p_{i}=\log_{m}\f..
2021.02.17 -
포물선
포물선 $y^{2}=4px$위의 한 점 $A(x_{1},y_{1})$을 잡고 $A$와 초점 $F$를 지나는 직선을 그린다. 그 직선이 포물선과 만나는 다른 점을 $B(x_{2},y_{2})$라고 한다. 점 $A,\ B$에서 준선으로 내린 수선의 발을 각각 $A^{\prime},\ B^{\prime}$라 한다. 점 $A,\ B$에서의 포물선의 접선의 교점을 $N$이라고 한다. 포물선의 성질에의해 $\overleftrightarrow{AN} \perp \overleftrightarrow{BN}$ $\overleftrightarrow{A^{\prime}F} \perp \overleftrightarrow{B^{\prime}F}$ 이다. 이번에 알아볼 것은 $\triangle ANB$와 $\triangle A^{..
2021.02.16 -
피보나치 수열
피보나치 수열의 점화식은 다음과 같다. $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ $1\ 1\ 2\ 3\ 5\ 8\ 13\ \cdot\cdot\cdot$ 잘 살펴보면 $F_{4}=(F_{3})^{2}-(F_{1})^{2}$ $F_{6}=(F_{4})^{2}-(F_{2})^{2}$ 가 성립하는 것을 알 수 있다. 그럼 성질 1: $F_{2n}=(F_{n+1})^{2}-(F_{n-1})^{2}$ 가 성립하는 것일까? 증명해보자. 수열 $\left\{a_{n}\right\}$ 를 다음과 같이 정의한다. $a_{n}=(F_{n+1})^{2}-(F_{n-1})^{2}$ $(F_{n+2})^{2}-(F_{n})^{2}$ $=(F_{n+1})^{2}+2F_{n+1}F_{n}-(F_{n-1})^{2}+(F_{n-1})..
2021.02.15