증명(4)
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절댓값 합 함수(Ⅰ)
Ⅰ. 절댓값 합 함수의 특성 1부터 시작하며 빼는 값의 공차가 1인 1차 절댓값 함수들을 순서대로 더하고 더할 때마다 절댓값 안의 값이 0이 되게 하는 x값을 대입하여 값의 규칙성을 알아보자. 식으로 나타내면 다음과 같다. 왼쪽부터 순서대로 n=1, 2, 3,... 의 순서이다. 화살표로 이어진 상자마다 규칙이 있다. n=1 상자와 n=2 상자를 보면 (1,0)에서 (2,1)로 이어진다. 다음 상자를 보면 (3,3),(4,6)이다. 여기서 x+an−1(x) 가 an(x+1) 와 같다는 것을 알 수 있다. 임의의 정수 m에 대해 다음과 같은 일반항을 얻는다. 이제 공차가 1이 아닌 절댓값 함수에 대해서도 알아보자. 왼쪽은 공차가 2인 경우이며 오..
2021.01.26 -
무게중심
문제 △ABC 에서 ¯PA2+¯PB2+¯PC2 의 값이 최소가 되는 점 P 가 무게중심임을 보여라. 탐구 △ABC 와 합동인 삼각형 하나를 더하여 평행사변형을 만들 수 있다. BB′=¯B′P′+¯PP′+¯BP=2¯BP+¯PP′ 라고 정의하겠다. (BB′)2=4¯BP2+4¯BP ¯PP′+¯PP′2 ◻APCP′ 은 2쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. 평행사변형의 성질에 의하여 두 대각..
2021.01.23 -
특성방정식의 유도
문제 an+2=pan+1+qan 을 만족하는 수열 {an} 을 구하여라. 탐구 an+2=pan+1+qan an+2an+1=p+qanan+1 새로운 수열 {bn} 은 다음과 같이 정의된다. bn=anan+1 원래 식을 정리하면 1bn+1=p+qbn 1=pbn+1+qbnbn+1 어떤 실수 k 와 A 에 대해 다음이 성립한다고 하자. 1+kbn+1=Abn+1(1+kbn) 그럼 실수 k, A 는 다음을 만족한다. $Ak=q,\ A-k=p\ \Leftrightarrow k^{..
2021.01.23 -
유리수 무리수
문제 소수 p와 서로소인 자연수 m, n(m>n>0) 에 대하여 pnm 은 유리수인가 무리수인가? 탐구 nm>1 2a1 를 만족하는 최소의 자연수 a1 가 존재한다. nm−1 2a1>1 2a2 를 만족하는 최소의 자연수 a2 가 존재한다. 이를 귀납적으로 반복하게 되면 결국 다음과 같이 표현된다. $\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} \frac{n}{m} = \frac{1}{\ 2^{a_{1}}}+\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}..
2021.01.18