$p=4m+1$형태를 갖는 모든 소수는 제곱수 두 개의 합으로 표현된다. 즉, $p=x^{2}+y^{2}$으로 쓸 수 있는 적당한 양의 정수 $x,y \in \mathbb{N}$가 존재한다. 몇 가지 명제를 증명한 후에 본격적인 증명을 해보자. 두 제곱수의 합으로 표현되는 두 수를 곱하면 그 역시 두 제곱수의 합으로 표현할 수 있다. $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ 어떤 두 제곱수의 합인 수 $a^2+b^2$가 두 제곱수의 합인 소인수 $c^2+d^2$를 갖는다면, 몫 $(a^2+b^2)/(c^2+d^2)$은 두 제 곱수의 합이다 위 가정에 의해 다음이 성립한다. $c^2+d^2 | c^2(a^2+b^2)-a^2(c^2+d^2)=(bc+ad)(bc-ad)$ 이때 ..

굉장히 어려운 문제이다... 코드업에 비슷한 문제를 냈었는데 그거보다 어렵다 ㅜㅜ 하지만 무려 8일간 고민을 거듭해서 맞았다! 그 풀이에 대해 적어보려고 한다! 문제 등차수열에 관한 디리클레의 정리는 서로소인 두 양의 정수 a와 b가 있을 때, 등차수열 t(n) = a*n + b (n ≥ 0)은 무한히 많은 소수를 포함한다는 내용이다. 소수는 2보다 큰 양의 정수로, 약수가 1과 자기자신 밖에 없는 수이다. 예를 들어, a=4, b=3인 경우 등차수열은 다음과 같다. 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, ..., 여기서 이 등차수열의 첫 부분에 많은 소수가 있음을 눈으로 볼 수 있다. a > 0과 b ≥ 0, 그리고 U ≥ L ≥ 0이 주어졌을 때, t(n) = a*n+b에 소수가..

쌍곡선 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 위의 한 점 $R$에서 기울기가 $m$인 직선이 켤래 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 $P,\ Q$라고 하자. 이때, $\overline{PR}\cdot\overline{QR}$의 값을 확인해보자. $\overline{PR}\cdot\overline{QR}$의 값이 일정해보인다. 증명해보자. $x$축과 직선이 이루는 각을 $\theta$라고 하자. 기울어진 선분의 길이는 수평선보다 구하기 어려우므로 $\theta$를 이용해 각 길이를 수평으로 표현할 수 있다. $P(\alpha_{1},\ \beta_{1})$, $Q(\alpha_{2},\ \beta_{2})$, $R(x_{1},\ y_{1})$ 이라고 하자. 그때 수평선..

윌슨의 정리를 한 번 볼까? 소수 $p$에 대해 $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$ 정수론을 배우다보면 페르마의 소정리가 아래와 같이 일반화 된다. $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}, (p,a)=1$ $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}, (n,a)=1$ 윌슨의 정리는 $n$과 서로소인 수들의 곱을 $n$으로 나누었다고 볼 수 있다. 이를 일반화시켜보자. 5와 서로소인 자연수의 곱=$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4= 24\equiv -1 \pmod{5}$ 6과 서로소인 자연수의 곱=$1\cdot 5= 5 \equiv -1 \pmod{6}$ 8과 서로소인 자연수의 곱=$1\cdot 3\cdot 5\cdot7 =105 \equiv 1 \pmod{8..

오늘은 원을 가지고 놀것이다! 먼저 원을 그리고 원의 지름을 표시한다. 여기서 지름의 한 쪽 끝부터 시작하여 일정한 각도로, 원의 중심을 기준으로, 반시계 방향으로 회전 시켜 점들을 찍어준다. 그 후 점을 다음과 같이 연결시켜준다. 점의 개수가 늘어날수록 색칠된 부분이 반원을 덮는 것을 관찰할 수 있다. 그럼! 이 다각형의 넓이를 구해서 반원의 넓이가 되는지 알아보자. 1. 넓이 구하기 총 $n$개의 점을 $\theta$만큼 회전시키며 찍었다고 하자. $\theta$를 구하면 $2(n+1)\theta=\pi$ $\theta=\frac{\pi}{2(n+1)}$ 우리가 구하고자 하는 넓이 $s$는 $s=\triangle ABC_{1}+\triangle AC_{1}C_{2}+\cdot\cdot\cdot+\tr..

다음과 같은 수열을 생각해보자. $0\ 1\ 0\ 2\ 0\ 1\ 0\ 3\ 0\ 1\ 0\ 2\cdot\cdot\cdot$ $0$이 아닌 항들을 모아보면 $1\ 2\ 1\ 3\ 1\ 2$ 위의 수열 $+1$이다. 또 여기서 $1$이 아닌 항들을 모아보면 $2\ 3\ 2$ 다시 위의 수열 $+1$이다. 이 포스팅의 제목이 재귀적 규칙인 이유이다. 위 수열을 정의해보자. 수열 $\left\{k_{i\ n}\right\}$를 다음과 같이 정의한다. $1$이 아닌 자연수 $m$과 임의의 자연수 $\lambda$에 대해 $k_{1}=1,\ 2,\ 3,\ 4\cdot\cdot\cdot$ $k_{i}=m^{\lambda(i-1)}k_{1}$ $\left\{p_{i}\right\}$는 $p_{i}=\log_{m}\f..