Ⅰ. 절댓값 합 함수의 특성 1부터 시작하며 빼는 값의 공차가 1인 1차 절댓값 함수들을 순서대로 더하고 더할 때마다 절댓값 안의 값이 0이 되게 하는 $x$값을 대입하여 값의 규칙성을 알아보자. 식으로 나타내면 다음과 같다. 왼쪽부터 순서대로 $n=1,\ 2,\ 3, ...$ 의 순서이다. 화살표로 이어진 상자마다 규칙이 있다. $n=1$ 상자와 $n=2$ 상자를 보면 $(1, 0)$에서 $(2, 1)$로 이어진다. 다음 상자를 보면 $(3, 3), (4, 6)$이다. 여기서 $x+a_{n-1}(x)$ 가 $a_{n}(x+1)$ 와 같다는 것을 알 수 있다. 임의의 정수 $m$에 대해 다음과 같은 일반항을 얻는다. 이제 공차가 1이 아닌 절댓값 함수에 대해서도 알아보자. 왼쪽은 공차가 2인 경우이며 오..

문제 $\triangle ABC$ 에서 $\overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2}+\overline{PC}^{2}$ 의 값이 최소가 되는 점 $P$ 가 무게중심임을 보여라. 탐구 $\triangle ABC$ 와 합동인 삼각형 하나를 더하여 평행사변형을 만들 수 있다. $BB'=\overline{B'P'}+\overline{PP'}+\overline{BP}=2\overline{BP}+\overline{PP'}$ 라고 정의하겠다. $(BB')^{2}=4\overline{BP}^{2}+4\overline{BP}\ \overline{PP'}+\overline{PP'}^{2}$ $\Box APCP'$ 은 2쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. 평행사변형의 성질에 의하여 두 대각..

문제 $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$ 을 만족하는 수열 $\{a_{n}\}$ 을 구하여라. 탐구 $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$ $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=p+q\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ 새로운 수열 $\{b_{n}\}$ 은 다음과 같이 정의된다. $b_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ 원래 식을 정리하면 $\frac{1}{b_{n+1}}=p+qb_{n}$ $1=pb_{n+1}+qb_{n}b_{n+1}$ 어떤 실수 $k$ 와 $A$ 에 대해 다음이 성립한다고 하자. $1+kb_{n+1}=Ab_{n+1}(1+kb_{n})$ 그럼 실수 $k$, $A$ 는 다음을 만족한다. $Ak=q,\ A-k=p\ \Leftrightarrow k^{..

문제 소수 $p$와 서로소인 자연수 $m,\ n (m>n>0)$ 에 대하여 $p^{\frac{n}{m}}$ 은 유리수인가 무리수인가? 탐구 $\frac{n}{m}>\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}$ 를 만족하는 최소의 자연수 $a_{1}$ 가 존재한다. $\frac{n}{m}-\frac{1}{\ 2^{a_{1}}}>\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}$ 를 만족하는 최소의 자연수 $a_{2}$ 가 존재한다. 이를 귀납적으로 반복하게 되면 결국 다음과 같이 표현된다. $\underset{{k \to \infty}_{}}{\lim} \frac{n}{m} = \frac{1}{\ 2^{a_{1}}}+\frac{1}{\ 2^{a_{2}}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{\ 2^{a_{k}}}..

문제 $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 의 내접원과 변 $B_{1}C_{1}$, $C_{1}A_{1}$, $A_{1}B_{1}$ 의 접점을 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$라고 하자 새로운 삼각형인 $\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$ 에서 위 과정을 반복할 때 $n$이 무한히 커진다면 $\triangle A_{n}B_{n}C_{n}$ 은 어떤 삼각형이 되겠는가? 정의 $n$ 번째 삼각형의 요소는 아래 첨자에 $n$ 을 써서 나타낸다. $\angle k_{n}/2 = \angle k^{\prime}_{n}$ $\angle A_{n} = \alpha_{n}$ $\angle B_{n} = \beta_{n}$ $\angle C_{n} = \gamma_{n}$ 외접원의 반지름 ..

조립제법(Synthetic division) 피제수와 제수의 각 계수들로 조립제법의 형태를 세우고 이 형식으로 나눗셈을 수행하는 것 (위키피디아_조립제법) $\frac{L(x)}{T(x)}$ 여기서 $L(x)$ 는 피제수 $T(x)$ 는 제수이다. $L(x)$ 와 $T(x)$ 가 각각 다항식이면 우리는 조립제법을 적용할 수 있다. 이번 글에서는 $T(x)$ 의 최고차항의 계수가 1이고 1차식인 경우만 다루겠다. $L(x)$ 와 $T(x)$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다. $L(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{0}$ $T(x)=x-m$ 조립제법을 $T(x)=0$ 의 근인 $m$ 으로 적용해보자. 조립제법의 가장 마지막 항을 먼저 진행된 순서대로 ..